(C1) Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Умножим обе части равенства на $$6a-3b+4$$: $$3a-6b+4=7(6a-3b+4).$$

Раскроем скобки и перенесём всё в одну часть: $$0=42a-21b+28-(3a-6b+4)=39a-15b+24,$$ откуда $$39a-15b+24=0.$$

Тогда $$39a-15b=-24.$$

Прибавим к обеим частям равенства $$25$$: $$39a-15b+25=-24+25=1.$$ Следовательно, значение выражения $$39a-15b+25$$ равно $$1$$.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$(x-7)^{2}-\sqrt{11}(x-7)<0$$ 

$$(x-7)(x-7-\sqrt{11})<0$$ 

Начертим координатную прямую, отметим значения х при которых выражение $$(x-7)(x-7-\sqrt{11})$$ равно нулю и расставим знаки значений, которые принимает данное выражение на полученных промежутках:

Выберем те, в которых выражение принимает отрицательные значения: $$(7; 7+\sqrt{11})$$

$$\frac{-10}{(x-3)^{2}-5}\geq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(x-3)^{2}-5<0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(x-3-\sqrt{5})(x-3+\sqrt{5})<0$$ 

Отметим на координатной прямой значения х, при которых выражение $$(x-3-\sqrt{5})(x-3+\sqrt{5})$$ равно 0 и расставим знаки значений, которые принимает данное выражение на полученных промежутках:

Выберем те, в которых данное выражение принимает отрицательные значения: $$(3-\sqrt{5}; 3+\sqrt{5})$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Числитель $$-22$$ — отрицательное и не равен нулю, значит дробь никогда не обращается в ноль. Чтобы дробь была отрицательной, знаменатель должен быть положительным: $$x^2 - 2x - 35 > 0.$$

2) Решим неравенство: $$x^2 - 2x - 35 > 0.$$ Учтём, что $$x^2 - 2x - 35 = (x-7)(x+5).$$ Нули: $$x_1 = -5;\quad x_2 = 7.$$ Отметим их на координатной прямой и расставим знаки, которые принимает выражение $$(x-7)(x+5)$$ на полученных промежутках.

Выражение положительное при: $$x \in (-\infty;\,-5) \;\cup\; (7;\,+\infty).$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Приравниваем правые части: $$4x^2 - 3x = 8x - 6.$$ Переносим всё в одну сторону: $$4x^2 - 11x + 6 = 0.$$ Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант: $$D = (-11)^2 - 4\cdot 4\cdot 6 = 121 - 96 = 25.$$ Корни: $$x_{1,2} = \dfrac{11 \pm \sqrt{25}}{2\cdot 4} = \dfrac{11 \pm 5}{8}.$$ Тогда $$x_1 = \dfrac{11 + 5}{8} = 2,\qquad x_2 = \dfrac{11 - 5}{8} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}.$$

2) Найдём соответствующие значения $$y$$ из второго уравнения.

Для $$x = 2$$: $$y = 8\cdot 2 - 6 = 10.$$ Для $$x = \dfrac{3}{4}$$: $$y = 8\cdot \dfrac{3}{4} - 6 = 6 - 6 = 0.$$ Решения системы: $$(2;10),\ \left(\dfrac{3}{4};0\right).$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Разделим второе уравнение на $$2$$: $$5x^2 + y^2 = 18x.$$ Теперь из первого уравнения $$5x^2 + y^2 = 36,$$ а из превращённого второго $$5x^2 + y^2 = 18x.$$ Приравниваем правые части: $$36 = 18x \;\Rightarrow\; x = 2.$$

2) Подставим $$x = 2$$ в первое уравнение: $$5\cdot 2^2 + y^2 = 36 \;\Rightarrow\; 20 + y^2 = 36 \;\Rightarrow\; y^2 = 16,$$ откуда $$y = 4$$ или $$y = -4.$$ Получаем решения $$(2;4)$$ и $$(2;-4).$$

1) Из первого уравнения: $$y = 5 - x^2.$$ Подставим во второе: $$6x^2 - (5 - x^2) = 2.$$ Упростим: $$7x^2 - 5 = 2,$$ $$7x^2 = 7,$$ $$x^2 = 1.$$ Корни: $$x = \pm 1.$$

2) Найдём $$y.$$ Для $$x = 1$$: $$y = 5 - 1 = 4.$$ Для $$x = -1$$: $$y = 5 - 1 = 4.$$ Решения: $$(1;4),\ (-1;4).$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Заметим, что $$x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2.$$ Подставим: $$(x+1)(x - 5)^2 = 7(x - 5).$$ Вынесем общий множитель: $$(x - 5)\bigl((x+1)(x - 5) - 7\bigr) = 0.$$ Отсюда либо $$x - 5 = 0,$$ либо $$(x+1)(x - 5) - 7 = 0.$$

2) Первый корень: $$x = 5.$$

3) Решаем второе уравнение: $$(x+1)(x - 5) - 7 = 0,$$ $$x^2 - 4x - 5 - 7 = 0,$$ $$x^2 - 4x - 12 = 0.$$ Дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4\cdot 1\cdot(-12) = 16 + 48 = 64.$$ Корни: $$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2},$$ $$x_1 = 6,\qquad x_2 = -2.$$

1) Сделаем замену: $$(x + 2)^2 = t.$$ Тогда уравнение примет вид $$t^2 - 4t - 5 = 0.$$

2) Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4\cdot 1\cdot(-5) = 16 + 20 = 36,$$ $$t_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{4 \pm 6}{2}.$$ Получаем $$t_1 = 5,\quad t_2 = -1.$$ Так как $$t = (x + 2)^2 \ge 0,$$ то берём только $$t = 5.$$

3) Возвращаемся к переменной $$x$$: $$(x + 2)^2 = 5,$$ $$x + 2 = \pm \sqrt{5},$$ $$x = -2 \pm \sqrt{5}.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Каждое слагаемое — квадрат, значит оно неотрицательно. Сумма двух квадратов равна нулю только тогда, когда оба квадрата равны нулю: $$ \begin{cases} x^2 - 16 = 0,\\ x^2 + 3x - 4 = 0. \end{cases} $$

2) Решим уравнение $$x^2 - 16 = 0.$$ Дискриминант: $$D = 0^2 - 4\cdot 1\cdot(-16) = 64,$$ $$x_{1,2} = \dfrac{0 \pm \sqrt{64}}{2} = \pm 4.$$ То есть $$x = 4,\ x = -4.$$

3) Решим уравнение $$x^2 + 3x - 4 = 0.$$ Дискриминант: $$D = 3^2 - 4\cdot 1\cdot(-4) = 9 + 16 = 25,$$ $$x_{1,2} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-3 \pm 5}{2}.$$ Тогда $$x_1 = 1,\quad x_2 = -4.$$

4) Значение $$x$$ должно удовлетворять обоим уравнениям, общим корнем является только $$x = -4.$$

1) Сделаем замену: $$t = \frac{1}{x - 2}.$$ Тогда уравнение примет вид $$t^2 - t - 6 = 0.$$

2) Решим квадратное уравнение: $$D = (-1)^2 - 4\cdot 1\cdot(-6) = 1 + 24 = 25,$$ $$t_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{1 \pm 5}{2}.$$ Получаем: $$t_1 = 3,\qquad t_2 = -2.$$

3) Возвращаемся к переменной $$x$$:

1) $$\frac{1}{x - 2} = 3,$$ $$x - 2 = \frac{1}{3},$$ $$x = \frac{7}{3}.$$

2) $$\frac{1}{x - 2} = -2,$$ $$x - 2 = -\frac{1}{2},$$ $$x = \frac{3}{2}.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Сделаем замену: $$t = \frac{1}{x},$$ тогда $$t^2 - 3t - 4 = 0.$$

2) Решим квадратное уравнение: $$D = (-3)^2 - 4\cdot 1\cdot(-4) = 9 + 16 = 25,$$ $$t_{1,2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{3 \pm 5}{2}.$$ Получаем: $$t_1 = 4,\qquad t_2 = -1.$$

3) Возвращаемся к переменной $$x$$:

1) $$t = 4 \Rightarrow \frac{1}{x} = 4 \Rightarrow x = \frac{1}{4}.$$

2) $$t = -1 \Rightarrow \frac{1}{x} = -1 \Rightarrow x = -1.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Заметим: $$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2.$$ Тогда: $$x(x + 1)^2 = 6(x + 1).$$ Вынесем общий множитель: $$(x + 1)\bigl(x(x + 1) - 6\bigr) = 0.$$ Отсюда: $$x + 1 = 0,$$ или $$x(x + 1) - 6 = 0.$$

2) Первый корень: $$x = -1.$$

3) Решим квадратное уравнение: $$x^2 + x - 6 = 0.$$ Дискриминант: $$D = 1^2 - 4\cdot 1\cdot(-6) = 1 + 24 = 25,$$ $$x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-1 \pm 5}{2}.$$ Получаем: $$x_1 = 2,\quad x_2 = -3.$$

1) ОДЗ: подкоренное выражение неотрицательно: $$3 - x \ge 0 \;\Rightarrow\; x \le 3.$$

2) Перенесём корень в одну сторону и сократим одинаковые слагаемые: $$x^2 - 2x + \sqrt{3 - x} = \sqrt{3 - x} + 8,$$ $$x^2 - 2x = 8,$$ $$x^2 - 2x - 8 = 0.$$

3) Решим квадратное уравнение: $$D = (-2)^2 - 4\cdot 1\cdot(-8) = 4 + 32 = 36,$$ $$x_{1,2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{2 \pm 6}{2}.$$ Тогда $$x_1 = 4,\quad x_2 = -2.$$ С учётом ОДЗ $$x \le 3$$ подходит только $$x = -2.$$ Проверка показывает, что корень верный.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Группируем слагаемые: $$x^3 + 3x^2 - x - 3 = x^2(x+3) - 1(x+3).$$

2) Выносим общий множитель: $$(x+3)(x^2 - 1) = 0.$$

3) Раскладываем квадратный множитель: $$x^2 - 1 = (x-1)(x+1),$$ поэтому $$(x+3)(x-1)(x+1) = 0.$$

4) Приравниваем каждый множитель к нулю: $$x+3 = 0,\quad x-1 = 0,\quad x+1 = 0.$$ Отсюда $$x = -3,\; 1,\; -1.$$