(C1) Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Заметим, что $$x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2.$$ Подставим: $$(x+1)(x - 5)^2 = 7(x - 5).$$ Вынесем общий множитель: $$(x - 5)\bigl((x+1)(x - 5) - 7\bigr) = 0.$$ Отсюда либо $$x - 5 = 0,$$ либо $$(x+1)(x - 5) - 7 = 0.$$

2) Первый корень: $$x = 5.$$

3) Решаем второе уравнение: $$(x+1)(x - 5) - 7 = 0,$$ $$x^2 - 4x - 5 - 7 = 0,$$ $$x^2 - 4x - 12 = 0.$$ Дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4\cdot 1\cdot(-12) = 16 + 48 = 64.$$ Корни: $$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2},$$ $$x_1 = 6,\qquad x_2 = -2.$$

1) Сделаем замену: $$(x + 2)^2 = t.$$ Тогда уравнение примет вид $$t^2 - 4t - 5 = 0.$$

2) Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4\cdot 1\cdot(-5) = 16 + 20 = 36,$$ $$t_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{4 \pm 6}{2}.$$ Получаем $$t_1 = 5,\quad t_2 = -1.$$ Так как $$t = (x + 2)^2 \ge 0,$$ то берём только $$t = 5.$$

3) Возвращаемся к переменной $$x$$: $$(x + 2)^2 = 5,$$ $$x + 2 = \pm \sqrt{5},$$ $$x = -2 \pm \sqrt{5}.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$(x+2)^{4}+(x+4)^{4}=82\Leftrightarrow$$ $$(x+2)^{4}+(x+4)^{4}=1^{4}+3^{4}\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}\left | x+2 \right |=1\\\left | x+4 \right |=3\end{matrix}\right. (1)\\\left[\begin{matrix}\left | x+2 \right |=3\\\left | x+4 \right |=1\end{matrix}\right. (2)\end{matrix}\right.$$

1) $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x+2=1\\x+2=-1\end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix}x+4=3\\x+4=-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x=-1\\x=-3\end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix}x=-1\\x=-7\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-1$$

2) $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x+2=3\\x+2=-3\end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix}x+4=1\\x+4=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x=1\\x=-5 \end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix}x=-3\\x=-5 \end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-5$$

$$(x+5)^{3}-25(x+5)=0$$; $$(x+5)((x+5)^{2}-25)=0$$; $$(x+5)(x+5-5)(x+5+5)=0$$; $$(x+5)x(x+10)=0$$;

$$\left\{\begin{matrix}x+5=0\\x=0\\x+10=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=-5\\x=0\\x=-10\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Каждое слагаемое — квадрат, значит оно неотрицательно. Сумма двух квадратов равна нулю только тогда, когда оба квадрата равны нулю: $$ \begin{cases} x^2 - 16 = 0,\\ x^2 + 3x - 4 = 0. \end{cases} $$

2) Решим уравнение $$x^2 - 16 = 0.$$ Дискриминант: $$D = 0^2 - 4\cdot 1\cdot(-16) = 64,$$ $$x_{1,2} = \dfrac{0 \pm \sqrt{64}}{2} = \pm 4.$$ То есть $$x = 4,\ x = -4.$$

3) Решим уравнение $$x^2 + 3x - 4 = 0.$$ Дискриминант: $$D = 3^2 - 4\cdot 1\cdot(-4) = 9 + 16 = 25,$$ $$x_{1,2} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-3 \pm 5}{2}.$$ Тогда $$x_1 = 1,\quad x_2 = -4.$$

4) Значение $$x$$ должно удовлетворять обоим уравнениям, общим корнем является только $$x = -4.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Сделаем замену: $$t = \frac{1}{x - 2}.$$ Тогда уравнение примет вид $$t^2 - t - 6 = 0.$$

2) Решим квадратное уравнение: $$D = (-1)^2 - 4\cdot 1\cdot(-6) = 1 + 24 = 25,$$ $$t_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{1 \pm 5}{2}.$$ Получаем: $$t_1 = 3,\qquad t_2 = -2.$$

3) Возвращаемся к переменной $$x$$:

1) $$\frac{1}{x - 2} = 3,$$ $$x - 2 = \frac{1}{3},$$ $$x = \frac{7}{3}.$$

2) $$\frac{1}{x - 2} = -2,$$ $$x - 2 = -\frac{1}{2},$$ $$x = \frac{3}{2}.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Сделаем замену: $$t = \frac{1}{x},$$ тогда $$t^2 - 3t - 4 = 0.$$

2) Решим квадратное уравнение: $$D = (-3)^2 - 4\cdot 1\cdot(-4) = 9 + 16 = 25,$$ $$t_{1,2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{3 \pm 5}{2}.$$ Получаем: $$t_1 = 4,\qquad t_2 = -1.$$

3) Возвращаемся к переменной $$x$$:

1) $$t = 4 \Rightarrow \frac{1}{x} = 4 \Rightarrow x = \frac{1}{4}.$$

2) $$t = -1 \Rightarrow \frac{1}{x} = -1 \Rightarrow x = -1.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Так как в знаменателе переменная, мы исключаем деление на 0. То есть $$x\neq 1$$ $$\frac{x^{17}-1}{1-x^{15}}=\frac{1-x^{15}}{x^{13}-1}\Leftrightarrow $$$$(x^{17}-1)(x^{13}-1)=(1-x^{15})^{2}\Leftrightarrow $$$$x^{30}-x^{17}-x^{13}+1=1-2x^{15}+x^{30}\Leftrightarrow $$$$x^{17}-2x^{15}+x^{13}=0\Leftrightarrow $$$$x^{13}(x^{4}-2x^{2}+1)=0 \Leftrightarrow $$$$x^{13}(x^{2}-1)^{2}=0$$ Тогда или $$x^{13}=0$$, или $$x^{2}-1=0$$. В первом случае $$x=0$$, во втором $$x=\pm 1$$.Корень $$x=1$$ не входит в ОДЗ

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     ОДЗ: $$\left | x-2 \right |\neq 0\Leftrightarrow x\neq 2$$

     Решение: $$x^{4}-9x^{2}+20=0$$

     Пусть : $$x^{2}=y\geq 0$$, тогда получим:

$$y^{2}-9y+20=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=9\\y_{1}*y_{2}=20\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}y_{1}=4\\y_{2}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x^{2}=4 \\x^{2}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pm 2\\x=\pm \sqrt{5}\end{matrix}\right.$$

     С учетом ОЗД: $$x=\pm \sqrt{5}; -2$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\sqrt{x+3}(x^{2}+7x+10)=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+3\geq 0\\\left[\begin{matrix}x+3=0\\x^{2}+7x+10=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\geq -3\\\left[\begin{matrix}x=-3\\x=-2\\x=-5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=-3\\x=-2\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!