(C1) Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x^{2}-x+1}\leq \frac{1-2x}{x^{3}+1}$$

     ОДЗ: $$x^{3}+1\neq 0\Rightarrow x\neq -1$$

     Решение: $$\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x^{2}-x+1}-\frac{1-2x}{(x+1)(x^{2}-x+1)}\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{x^{2}-x+1-2x-2-1+2x}{x^{3}+1}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}-x-2}{x^{3}+1}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x-2)(x+1)}{x^{3}+1}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x-2}{x^{2}-x+1}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x-2\leq 0\Rightarrow$$ $$x\leq 2$$

     С учетом ОДЗ: $$x \in (-\infty ; -1)\cup (-1; 2]$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\frac{x^{2}+7x+10}{\left|x+2\right|}\leq 0$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+7x+10\leq 0\\x+2\neq 0\end{matrix}\right.$$ $$x^{2}+7x+10=0$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-7\\x_{1}\cdot x_{2}=10\end{matrix}\right.$$ $$x_{1}=-2$$ $$x_{2}=-5$$ $$x\in [-5; -2)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$(\frac{2x+1}{5-x})^{2}\leq \frac{1}{25}$$$$\Leftrightarrow$$ $$(\frac{2x+1}{5-x})^{2}-(\frac{1}{5})^{2}\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$(\frac{2x+1}{5-x}-\frac{1}{5})(\frac{2x+1}{5-x}+\frac{1}{5})\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{10x+5-5+x}{5(5-x)}*\frac{10x+5+5-x}{5(5-x)}\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{11x*(9x+10)}{25(5-x)^{2}}\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x(9x+10)\leq 0\\5-x\neq 0\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$x \in [-\frac{10}{9};0]$$

1) Перенесём всё в левую часть: $$x^2 - 12x + 36 - \sqrt{10}(x - 6) < 0.$$

Учтем, что $$x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2$$. Тогда $$(x - 6)^2 - \sqrt{10}(x - 6) < 0.$$ Вынесём общий множитель: $$(x - 6)\bigl((x - 6) - \sqrt{10}\bigr) < 0,$$ $$(x - 6)(x - 6 - \sqrt{10}) < 0$$

2) Найдём нули выражения: $$x_1 = 6; x_2 = 6 + \sqrt{10}.$$ Отметим их на координатной прямой. Расставим знаки, которые принимает выражение $$(x - 6)(x - 6 - \sqrt{10})$$ на полученных интервалах:

Выражение отрицательно при: $$x \in (6;\, 6 + \sqrt{10}).$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$x\geq \frac{5x-14}{25}+\frac{3x-5}{20}-9\frac{4}{5}|*100\Leftrightarrow$$ $$100x\geq 20x-56+15x-25-975\Leftrightarrow$$$$100x-35x\geq -1056\Leftrightarrow$$$$65x\geq -1056\Leftrightarrow$$$$x\geq -\frac{1056}{65}\Leftrightarrow$$

$$x^{2}(-x^{2}-64)\leq 64(-x^{2}-64)\Leftrightarrow$$$$x^{2}(-x^{2}-64)-64(-x^{2}-64)\leq0\Leftrightarrow$$$$(-x^{2}-64)(x^{2}-64)\leq0$$

Число $$-x^{2}-64<0$$ при всех Х. Делим на него, меняем знак неравенства (т.к. делим на отрицательное): $$x^{2}-64\geq0$$

Найдем все х, при которых выражение  $$x^{2}-64=0$$

$$x^{2}=64\Leftrightarrow$$$$x=\pm 8$$. Отметим полученные значения на координатной прямой и расставим знаки значений, которые принимает выражение $$x^{2}-64$$ на полученных отрезках:

Точки закращенные, так как неравенство строгое. Выберем отрезки, где выражение больше или равно 0: $$(-\infty; -8]; [8; +\infty)$$

$$\frac{8x-1}{15}-\frac{7x-2}{10}>\frac{1}{3}\Rightarrow 16x-2-21x+6>10\Rightarrow -5x>6\Rightarrow x<-\frac{6}{5}$$

$$(2x+1)^2\leq x(4x+3)\Rightarrow 4x^2+4x+1\leq4x^2+3x\Rightarrow x\leq-1$$

Получим: $$\left\{\begin{matrix} x<-\frac{6}{5}\\ x\leq-1 \end{matrix}\right.\Rightarrow x\in(-\infty;-\frac{6}{5})$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\left\{ \begin{array}{c} \left(6x+2\right)-6\left(x+2\right)>2x \\ \left(x-7\right)\left(x+6\right)0 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} 6x+2-6x-12-2x>0 \\ x>-7 \\ x6 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} -10-2x>0 \\ x7 \\ x>-6 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x-5 \\ x7 \\ x>6 \end{array} \right.\leftrightarrow x\in (-6;-5).$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\left\{ \begin{array}{c} \frac{10-2x}{3+{\left(5-2x\right)}^2}\ge 0 \\ 2-7x\le 14-3x \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} 10-2x\ge 0 \\ -7x+3x\le 14-2 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x\le 5 \\ -4x\le 12 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x\le 5 \\ x\ge -3 \end{array} \right.\leftrightarrow x\in [-3;-5]$$

Решите систему неравенств:

$$ \left\{ \begin{aligned} &\frac{10 - 2x}{3 + (5 - 2x)^2} \geq 0 \\ &2 - 7x \leq 14 - 3x \end{aligned} \right. $$

Решим первое неравенство:

$$ \frac{10 - 2x}{3 + (5 - 2x)^2} \geq 0 $$

Знаменатель всегда положителен, так как:

$$ 3 + (5 - 2x)^2 > 0 \quad \text{при любом } x $$

Значит, знак выражения зависит только от числителя:

$$ 10 - 2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5 $$

Решим второе неравенство:

$$ 2 - 7x \leq 14 - 3x $$ $$ 2 - 7x - 14 + 3x \leq 0 \Rightarrow -4x - 12 \leq 0 \Rightarrow -4x \leq 12 \Rightarrow x \geq -3 $$

Ответ:

$$ x \in [-3 \ ; \ 5] $$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Из первого уравнения получаем: $$(x-4)(y-7)=0 \Rightarrow x=4$$ или $$y=7.$$

1) Пусть $$x=4.$$ Подставим во второе уравнение: $$\dfrac{y-5}{4+y-9}=2 \;\Rightarrow\; \dfrac{y-5}{y-5}=2.$$ Если $$y\neq5,$$ то левая часть равна $$1,$$ получаем противоречие $$1=2.$$ Если $$y=5,$$ то знаменатель равен нулю, дробь не имеет смысла. Следовательно, при $$x=4$$ решений нет.

2) Пусть $$y=7.$$ Подставим во второе уравнение: $$\dfrac{7-5}{x+7-9}=2 \;\Rightarrow\; \dfrac{2}{x-2}=2.$$ Отсюда $$\dfrac{2}{x-2}=2 \;\Rightarrow\; \dfrac{1}{x-2}=1 \;\Rightarrow\; x-2=1 \;\Rightarrow\; x=3.$$ Проверим знаменатель: $$x+y-9=3+7-9=1\neq 0.$$ Значит, пара $$(3;7)$$ является решением системы.

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x+5}{y-3}=0\\ 2y^2+x^2-y=40 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x+5=0\\ y-3\neq0\\ 2y^2+x^2-y=40 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x=-5\\ 2y^2+25-y=40\\ y\neq3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x=-5\\ 2y^2-y-15=0\\ y\neq3 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x=-5\\ y=-2,5 \end{matrix}\right.$$

$$2y^2-y-15=0$$

$$D=1+120=121$$

$$y_1=\frac{1+11}{4}=3$$ - не подходит

$$y_2=\frac{1-11}{4}=-2,5$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Приравниваем правые части: $$4x^2 - 3x = 8x - 6.$$ Переносим всё в одну сторону: $$4x^2 - 11x + 6 = 0.$$ Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант: $$D = (-11)^2 - 4\cdot 4\cdot 6 = 121 - 96 = 25.$$ Корни: $$x_{1,2} = \dfrac{11 \pm \sqrt{25}}{2\cdot 4} = \dfrac{11 \pm 5}{8}.$$ Тогда $$x_1 = \dfrac{11 + 5}{8} = 2,\qquad x_2 = \dfrac{11 - 5}{8} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}.$$

2) Найдём соответствующие значения $$y$$ из второго уравнения.

Для $$x = 2$$: $$y = 8\cdot 2 - 6 = 10.$$ Для $$x = \dfrac{3}{4}$$: $$y = 8\cdot \dfrac{3}{4} - 6 = 6 - 6 = 0.$$ Решения системы: $$(2;10),\ \left(\dfrac{3}{4};0\right).$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Разделим второе уравнение на $$2$$: $$5x^2 + y^2 = 18x.$$ Теперь из первого уравнения $$5x^2 + y^2 = 36,$$ а из превращённого второго $$5x^2 + y^2 = 18x.$$ Приравниваем правые части: $$36 = 18x \;\Rightarrow\; x = 2.$$

2) Подставим $$x = 2$$ в первое уравнение: $$5\cdot 2^2 + y^2 = 36 \;\Rightarrow\; 20 + y^2 = 36 \;\Rightarrow\; y^2 = 16,$$ откуда $$y = 4$$ или $$y = -4.$$ Получаем решения $$(2;4)$$ и $$(2;-4).$$

1) Из второго уравнения выразим, например, $$y$$: $$y = \dfrac{12}{x},\quad x \neq 0.$$ Подставим в первое уравнение: $$x^2 + \left(\dfrac{12}{x}\right)^2 = 25.$$ Умножим на $$x^2$$: $$x^4 + 144 = 25x^2.$$ Переносим всё в одну сторону: $$x^4 - 25x^2 + 144 = 0.$$ Обозначим $$t = x^2$$ (учитывая $$t \ge 0$$): $$t^2 - 25t + 144 = 0.$$

2) Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = (-25)^2 - 4\cdot 1\cdot 144 = 625 - 576 = 49.$$ Корни: $$t_{1,2} = \dfrac{25 \pm \sqrt{49}}{2} = \dfrac{25 \pm 7}{2}.$$ Тогда $$t_1 = \dfrac{32}{2} = 16,\qquad t_2 = \dfrac{18}{2} = 9.$$ То есть $$x^2 = 16 \quad\text{или}\quad x^2 = 9.$$ Отсюда $$x = \pm 4,\qquad x = \pm 3.$$

3) Для каждого $$x$$ найдём $$y = \dfrac{12}{x}.$$

Если $$x = 3,$$ то $$y = 4.$$ Если $$x = -3,$$ то $$y = -4.$$ Если $$x = 4,$$ то $$y = 3.$$ Если $$x = -4,$$ то $$y = -3.$$

Получаем четыре решения: $$(3;4),\ (-3;-4),\ (4;3),\ (-4;-3).$$