Углы
Задание 3689
На сторонах угла $$BAC$$ и на его биссектрисе отложены равные отрезки $$AB$$, $$AC$$ и $$AD$$. Величина угла $$BDC$$ равна $$160^{\circ}$$. Определите величину угла $$BAC$$.
1) $$AB=AD=AC$$ (по условию); $$\angle BAD=\angle DAC$$ ($$AD$$ - биссектриса), тогда $$\bigtriangleup BAD=\bigtriangleup ADC$$
2) $$\angle BDA=\angle ADC=\frac{\angle BDC}{2}=80^{\circ}$$
3) $$\angle ABD=\angle BDA$$ ($$AB=AD$$) $$\Rightarrow$$ $$\angle BAD=180^{\circ}-2\cdot80^{\circ}=20^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BAC=20^{\circ}\cdot2=40^{\circ}$$
Задание 3690
Найдите величину угла $$AOE$$, если $$OE$$ — биссектриса угла $$AOC$$, $$OD$$ — биссектриса угла $$COB$$.
1) т.к. $$OD$$ - биссектриса, то $$\angle COD=\angle DOB=25^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle COB=50^{\circ}$$
2) $$\angle AOC=180^{\circ}-\angle COB=130^{\circ}$$ (смежный)
3) $$\angle AOE=\frac{\angle AOC}{2}=65^{\circ}$$ ($$OE$$ - биссектриса)
Задание 3691
Найдите угол $$ACO$$, если его сторона $$CA$$ касается окружности, $$O$$ — центр окружности, а дуга $$AD$$ окружности, заключённая внутри этого угла, равна $$100^{\circ}$$.
1) $$OA\perp AC$$ по свойству радиуса, проведенного в точку касания;
2) $$\smile KA=100^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle KOA=100^{\circ}$$ (центральный) $$\Rightarrow$$ $$\angle DOA=80^{\circ}$$ (смежный) ($$\smile DA\neq100^{\circ}$$ т.к. $$\angle DOA<90^{\circ}$$)
3) $$\angle ACO=90^{\circ}-\angle COA=10^{\circ}$$