Прикладная математика

Зонты

Две подруги Оля и Аня задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта.

На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из двенадцати отдельных клиньев, натянутых на каркас из двенадцати спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт.

Оля и Аня сумели измерить расстояние между концами соседних спиц $$a$$. Оно оказалось равно $$28$$ см. Высота купола зонта $$h$$ (рис. 2) оказалась равна $$27$$ см, а расстояние $$d$$ между концами спин, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, — ровно $$108$$ см.

1. Длина зонта в сложенном виде равна $$27$$ см и складывается из длины ручки (рис. 3) и трети длины спицы (зонт в три сложения). Найдите длину спицы, если длина ручки зонта равна $$6,8$$ см.
2. Поскольку зонт сшит из треугольников, рассуждала Оля, площадь его поверхности можно найти как сумму площадей треугольников. Вычислите площадь поверхности зонта методом Оли, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна $$59$$ см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до десятков.
3. Аня предположила, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус $$R$$ сферы купола, зная, что $$OC = R$$ (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.
4. Аня нашла площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента по формуле $$S = 2\pi Rh$$, где R — радиус сферы, a h — высота сегмента. Рассчитайте площадь поверхности купола способом Ани. Число $$\pi$$ округлите до $$3,14$$. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.
5. Рулон ткани имеет длину $$20$$ м и ширину $$90$$ см. На фабрике из этого рулона были вырезаны треугольные клинья для $$15$$ зонтов, таких же, как зонт, который был у Оли и Ани. Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь $$850$$ кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона пошло в обрезки?

Квартиры

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры с панорамной лоджией в многоэтажном жилом доме. В правой части рисунка даны обозначения двери и окна (и остекления лоджии), а также указано, что длина стороны клетки на плане соответствует 0,4 м. Вход в квартиру находится в прихожей. Самое большое по площади помещение – гостиная. В спальне, гостиной и кухне есть двери и окна, выходящие на лоджию, но в кухне окно шире, чем в других комнатах. Остекление лоджии со стороны кухни закруглено. В квартире есть два помещения, в которых нет окон – это прихожая и санузел.

1. Для помещений, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк перенесите последовательность пяти цифр.

2. Найдите радиус закругления остекления лоджии со стороны кухни. Ответ дайте в сантиметрах.

3. Плитка для пола размером 10 см х 20 см продаётся в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плитки необходимо купить, чтобы выложить пол санузла?

4. Сколько процентов составляет площадь гостиной от площади прихожей?

5. Найдите площадь лоджии. Считайте $$\pi$$ равным 3,14. Ответ округлите до десятых квадратного метра.

Ларинское

Настя и её друзья собираются поехать в отпуск на 3 недели. Предварительно они наметили маршрут, представленный на схеме (см. выше). Они планируют на велосипедах добраться от города Клюквинск, обозначенного на схеме цифрой 6, до палаточного лагеря (лагерь обозначен на схеме цифрой 5) за 4 дня, а потом поставить там палатки и отдыхать на море. Ребята собираются выехать утром и в первый день добраться до посёлка Яблочко, где живёт дедушка Насти. Там есть залив, в котором можно купаться и плавать на катамаране, что они и собираются делать до обеда следующего дня. Потом планируется доехать до города Хрюм и заночевать там в гостинице. За следующие два дня они собираются доехать до посёлка Шушун, где расположен лагерь, но пока не решили, по какой дороге им ехать. Можно повернуть от города Хрюм направо, поехать вдоль лесничества и переночевать в отеле в деревне Опушки. Лесничество обозначено на схеме цифрой 8. Также после Хрюма можно свернуть налево и доехать в Шушун через посёлок Шода. Второй путь менее загружен транспортом, но дорога там грунтовая, и после дождя на велосипедах ехать нельзя.

Задание 1.

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими числами они обозначены на плане. Заполните таблицу. В ответе запишите последовательность четырёх чисел без пробелов и других разделительных символов.

Задание 2.

Найдите площадь (в км²), которую занимает лесничество.

Задание 3.

Ребята решили, что нужно взять в поездку зелёный чай в пакетиках. Юре поручили купить чай на всех. Сколько пачек чая должен купить Юра, если в компании из 12 человек в день они используют 2 пакетика чая на одного человека и поездка продлится три недели. В каждой пачке 50 пакетиков чая.

Задание 4.

Найдите расстояние (в км), которое проедут ребята от города Хрюм до посёлка Шушун, если пойдёт дождь и они поедут вдоль лесничества.

Задание 5.

Юра выяснил, что его велосипед пришёл в нерабочее состояние. Юра посетил сайты интернет‐магазина «ОК» и магазина «Сипед», расположенного в соседнем доме, чтобы узнать некоторые цены. В этих магазинах можно купить готовый велосипед либо запасные части. Цены на продукцию магазинов и срок доставки из интернет‐магазина даны в таблице.

Юру устраивает срок доставки, и он решил приобрести детали в интернет‐магазине «ОК». Он готов потратить на ремонт не более 5 000 рублей и при этом хочет купить самый дорогой набор деталей для ремонта велосипеда, который может себе позволить. Ему нужно купить три спицы, две шины (одного вида), две педали (одного вида), тормоз и подсветку на спицы. Сколько рублей Юра потратит на набор запасных частей?

Листы

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой А и цифрой: А0, А1, А2 и так далее. Лист формата А0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата А0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата А1. Если лист А1 разрезать так же пополам, получается два листа формата А2. И так далее. Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1. В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы А2, А4, А5 и А6.

Установите соответствие между форматами и номерами листов. Заполните таблицу. В ответе запишите последовательность четырёх чисел без пробелов и других разделительных символов.

2. Сколько листов формата А3 получится из одного листа формата А1?

3. Найдите ширину листа бумаги формата А2. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

4. Найдите отношение длины меньшей стороны листа формата А5 к большей. Ответ округлите до десятых.

5. Размер (высота) типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен $$\frac{1}{72}$$ дюйма, то есть 0,3528 мм. Текст напечатан шрифтом высотой 8 пунктов на листе формата А5. Какой высоты нужен шрифт (в пунктах), чтобы текст был расположен на листе формата А4 таким же образом? Размер шрифта округляется до целого.

Метро

На рисунке (см. выше) изображена схема метро города N. Станция Ветреная расположена между станциями Центральная и Дальняя. Если ехать по кольцевой линии (она имеет форму окружности), то можно последовательно попасть на станции Центральная, Быстрая, Утренняя, Птичья и Весёлая. Радужная ветка включает в себя станции Быстрая, Смородиновая, Хоккейная и Звёздная. Всего в метрополитене города N есть три станции, от которых тоннель ведёт только в одну сторону - это станции Дальняя, Верхняя и Звёздная. Антон живёт недалеко от станции Надежда.

1. Для станций, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на схеме. Заполните таблицу. В ответе запишите последовательность пяти цифр без пробелов, запятых и других разделительных символов.

2. Бригада меняет рельсы на участке между станциями Надежда и Верхняя протяжённостью 12,6 км. Работы начались в пятницу. Каждый рабочий день бригада меняла по 400 метров рельсов. По субботам и воскресеньям замена рельсов не осуществлялась, но проезд был закрыт до конца всего ремонта. Сколько дней был закрыт проезд между указанными станциями?

3. Территория, находящаяся внутри кольцевой линии, называется Центральным городским районом. Найдите его площадь $$S$$ (в км²), если длина кольцевой ветки равна 42 км. В ответе укажите значение выражения $$S\cdot\pi$$.

4. Найдите расстояние (в км) между станциями Смородиновая и Хоккейная, если длина Радужной ветки равна 17 км, расстояние от Звёздной до Смородиновой равно 12 км, а от Быстрой до Хоккейной - 15 км. Все расстояния даны по железной дороге.

5. Школьник Антон в среднем в месяц совершает 46 поездок в метро. Для оплаты поездок можно покупать различные карточки. Стоимость одной поездки для разных видов карточек различна. По истечении месяца Антон уедет из города и неиспользованные карточки обнуляются. Во сколько рублей обойдётся самый дешёвый вариант?

Осаго

Каждый водитель в Российской Федерации должен быть застрахован по программе обязательного страхования гражданской ответственности (ОСАГО). Стоимость полиса получается умножением базового тарифа на несколько коэффициентов. Коэффициенты зависят от водительского стажа, мощности автомобиля, количества предыдущих страховых выплат и других факторов.

Коэффициент бонус‐малус (КБМ) зависит от класса водителя. Это коэффициент, понижающий или повышающий стоимость полиса в зависимости от количества дорожно‐транспортных происшествий (ДТП) в предыдущий год. Сначала водителю присваивается класс 3. Срок действия полиса, как правило, один год. Каждый последующий год класс водителя присваивается в зависимости от числа страховых выплат в течение истекшего года, в соответствии с таблицей (см. таблицу выше). Коэффициент возраста и водительского стажа (КВС) также влияет на стоимость полиса (см. таблицу ниже).

1. Игорь страховал свою гражданскую ответственность на три года. В течение первого года была сделана одна страховая выплата, после этого выплат не было. Какой класс будет присвоен Игорю на начало четвёртого года страхования?

2. Чему равен КБМ на начало четвёртого года страхования?

3. Когда Игорь получил водительские права и впервые оформил полис, ему было 22 года. Чему равен КВС на начало 4‐го года страхования? 

4. В начале третьего года страхования Игорь заплатил за полис 18 585 руб. Во сколько рублей обойдётся Игорю полис на четвёртый год, если значения других коэффициентов (кроме КБМ и КВС) не изменятся? 

5. Игорь въехал на участок дороги протяжённостью 2,6 км с камерами, отслеживающими среднюю скорость движения. Ограничение скорости на дороге — 100 км/ч. В начале и в конце участка установлены камеры, фиксирующие номер автомобиля и время проезда. По этим данным компьютер вычисляет среднюю скорость на участке. Игорь въехал на участок в 11:10:33, а покинул его в 11:11:51. На сколько км/ч средняя скорость на данном участке была выше разрешённой?

Печи

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 2,5 м, ширина 2,3 м, высота 2,1 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице (см. выше) представлены характеристики трёх печей.

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6 500 руб.

Кроме того, хозяин подсчитал, что за год электрическая печь израсходует 3000 киловатт-часов электроэнергии по 5 руб. за 1 киловатт-час, а дровяная печь за год израсходует 2 м³ дров, которые обойдутся по 1700 руб. за м³.

1. Найдите объём парного отделения строящейся бани (в м³).

2. На сколько рублей дровяная печь, подходящая по отапливаемому объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

3. На сколько рублей эксплуатация дровяной печи, которая подходит по отапливаемому объёму парного отопления, обойдётся дешевле эксплуатации электрической в течение года?

4. Доставка печи из магазина до участка стоит 500 руб. При покупке печи ценой выше 20 000 руб. магазин предлагает скидку 3% на товар и 35% на доставку. Сколько будет стоить покупка печи «Кентавр» вместе с доставкой на этих условиях?

5. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке по дуге окружности (см. рис. 2 выше). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки. Размеры кожуха показаны на рисунке. Найдите радиус в см. Результат округлите до десятых.

План местности

Юра летом отдыхает у дедушки и бабушки в деревне Казаково. Юра с дедушкой собираются съездить на велосипедах в село Бор на железнодорожную станцию. Из Казаково в Бор можно проехать по шоссе до деревни Заулки, где нужно свернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в Бор через посёлок Малахово. Из Казаково в Бор можно проехать через посёлок Малахово и не заезжая в Заулки, но тогда первую часть пути надо будет ехать по прямой лесной дорожке. Есть и третий маршрут: доехать по прямой тропинке мимо пруда до села Шокша и там, повернув налево, по шоссе добраться до Бора.

По шоссе Юра с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке 12 км/ч. Расстояние по шоссе от Казаково до Заулок равно 24 км, от Бора до Заулок — 30 км, от Бора до Малахово — 20 км, а от Бора до Шокши — 8 км.

Задание 1.

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. В ответ запишите полученную последовательность пяти цифр.

Задание 2.

Сколько километров проедут Юра с дедушкой, если они поедут на станцию по шоссе через Заулки?

Задание 3.

На сколько процентов скорость, с которой едут Юра с дедушкой по тропинке, меньше их скорости по шоссе?

Задание 4.

Найдите расстояние от д. Казаково до п. Шокша по прямой тропинке. Ответ дайте в километрах.

Задание 5.

Определите, на какой маршрут до станции потребуется меньше всего времени. В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Юра с дедушкой, если поедут этим маршрутом.

Тарифы

На графике (см. выше) точками изображено количество минут, потраченных на исходящие вызовы, и количество гигабайтов мобильного интернета, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2018 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляет 400 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

- пакет минут, включающий 350 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;

- пакет интернета, включающий 2,8 гигабайта мобильного интернета;

- пакет SMS, включающий 150 SMS в месяц;

- безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и SMS сверх пакета указана в таблице (см. ниже)

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге и не звонил на номера, зарегистрированные за рубежом. За весь год абонент отправил 140 SMS.

$$1.$$ Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству израсходованных минут. Заполните таблицу. В ответе запишите последовательность четырёх чисел без пробелов, запятых и других разделительных символов.

$$2.$$ Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в ноябре?

$$3.$$ Сколько месяцев в 2018 году абонент превышал лимит по пакету мобильного интернета?

$$4.$$ Сколько месяцев в 2018 году абонент превышал лимит либо по пакету минут, либо по пакету мобильного интернета?

$$5.$$ В конце 2018 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф. Его условия приведены в таблице.

Абонент решал, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2018 год, если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2018 год, то абонент принял бы решение сменить тариф. Если же получилось столько же или больше, то абонент оставил бы прежний тариф на 2019 год. Какова была ежемесячная абонентская плата (в рублях) абонента по тарифу в 2019 году?

Теплицы

Глеб Сергеевич начал строить на дачном участке теплицу длиной 5 метров ( $$DC$$ на рис. 1). Для этого он сделал прямоугольный фундамент (рис. 2). Для каркаса теплицы нужно заказать металлические дуги в форме полуокружностей длиной 6 м каждая и покрытие для обтяжки теплицы. Отдельно требуется купить плёнку для передней и задней стенок теплицы. В передней стенке планируется вход, показанный на рис. 1 прямоугольником $$EFKN$$, где точки $$E, P$$ и $$N$$ делят отрезок $$AD$$ на равные части.

Внутри теплицы Глеб Сергеевич планирует сделать три грядки, как показано на рис. 2. Между грядками и при входе в теплицу будут дорожки шириной 40 см, для которых надо купить тротуарную плитку размером $$20 \times 20$$ см.

1. Какое наименьшее количество дуг нужно заказать, чтобы расстояние между соседними дугами было не более 70 см?
2. Найдите ширину теплицы в метрах с точностью до десятых.
3. Сколько нужно купить упаковок плитки для дорожек, если в каждой упаковке 8 штук.
4. Найдите площадь участка внутри теплицы, отведённого под грядки, в квадратных метрах. Результат округлите до десятых.
5. Найдите высоту $$EF$$ входа в теплицу в сантиметрах с точностью до целого. 

Террасы

В горных районах, особенно в южных широтах с влажным климатом, земледельцы на склонах гор устраивают террасы (см. рис. выше). Земледельческие террасы - это горизонтальные площадки, напоминающие ступени. Во время дождя вода стекает с верхних террас вниз по специальным каналам. Поэтому почва на террасах не размывается и урожай не страдает. Медленный сток воды с вершины склона вниз с террасы на террасу позволяет выращивать даже влаголюбивые культуры. В Юго-Восточной Азии террасное земледелие широко применяется для производства риса, а в Средиземноморье - для выращивания винограда и оливковых деревьев. Возделывание культур на террасах повышает урожайность, но требует тяжёлого ручного труда.

Земледелец владеет несколькими участками, один из которых расположен на склоне холма. Ширина участка равна 40 м, а верхняя точка находится на высоте 12 м от подножия.

1. Земледелец на расчищенном склоне холма (ещё не террасированном) выращивал мускатный орех. Какова была площадь (в м²), отведённая под посевы?

2. Затем земледелец решил устроить террасы на своём участке (см. рисунок ниже), чтобы выращивать рис, пшено или кукурузу. Строительство террас возможно, если угол склона (уклон) не больше 50% (тангенс угла наклона, умноженный на 100%). Сколько процентов составляет уклон? Ответ округлите до десятых.

3. На сколько процентов сократилась посевная площадь после того, как земледелец устроил террасы? Ответ округлите до десятых.

4. Земледелец получает 650 г бурого риса с одного квадратного метра засеянной площади. При шлифовке из бурого риса получается белый рис, но при этом теряется 16% массы. Сколько килограммов белого риса получит земледелец со всего своего участка?

5. В таблице дана урожайность культур, которые может засеять земледелец на своём террасированном участке. За год обычно собирается два урожая: летом и осенью. По данным таблицы посчитайте наибольшее число килограммов урожая, которое может собрать земледелец с участка за один год, если он может засевать разные культуры.

Участок

На плане изображено домохозяйство. При входе на участок справа от ворот находится баня, а слева – гараж, отмеченный цифрой 7. Площадь, занятая гаражом, равна 32 м². Жилой дом находится в глубине территории. Помимо гаража, жилого дома и бани, на участке имеется сарай (подсобное помещение), расположенный рядом с гаражом, и теплица, построенная на территории огорода (огород отмечен цифрой 2). Перед жилым домом имеются яблоневые посадки. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между баней и гаражом имеется площадка площадью 64 м², вымощенная такой же плиткой. К домохозяйству подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1. Найдите, на сколько метров периметр участка земли, занятого под жилой дом, больше периметра участка земли, занятого под сарай.

2. Тротуарная плитка продаётся в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку перед гаражом?

3. Найдите общую площадь (в м²) участка, которую занимают сарай и баня.

4. Найдите расстояние от теплицы до бани (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах. В ответе укажите квадрат полученного значения.

5. Хозяин дома планирует устроить в жилом доме зимнее отопление. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице.

Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое оборудование. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разность в стоимости установки газового и электрического оборудования?

Шины

Автомобильное колесо, как правило, представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине.

Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, $$195/65 R15$$ (рис. 1). Первое число (число $$195$$ в приведённом примере) обозначает дирину шины в миллиметрах (параметр $$B$$ на рисунке 2). Второе число (число $$65$$ в приведённом примере) - процентное отношение высоты боковины (параметр $$H$$ на рисунке 2) к ширине шины, то есть $$100 \cdot \frac{H}{B}$$.

Последующая буква обозначает тип конструкции шины. В данном примере буква $$R$$ означает, что шина радиальная, то есть нити каркаса в боковине шины расположены вдоль радиусов колеса. На всех легковых автомобилях применяются шины радиальной конструкции.

За обозначением типа конструкции шины идёт число, указывающее диаметр диска колеса $$d$$ в дюймах (в одном дюйме $$25,4$$ мм). Таким образом, общий диаметр колеса $$D$$ легко найти, зная диаметр диска и высоту боковины. Возможны дополнительные маркировки, обозначающие допустимую нагрузку на шину, сезонность использования, тип дорожного покрытия и другие параметры.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами маркировки $$205/60 R16$$.

1. Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

Какой наименьшей ширины шины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен $$17$$ дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

2. На сколько миллиметров радиус колеса с маркировкой $$195/55 R17$$ больше, чем радиус колеса с маркировкой $$225/45 R17$$?

3. Найдите диаметр $$D$$ колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в сантиметрах.

4. На сколько миллиметров уменьшится диаметр $$D$$ колеса, если заменить шины, установленные на заводе, шинами с маркировкой $$225/40 R18$$?

5. На сколько процентов уменьшится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить шины, установленные на заводе, шинами с маркировкой $$225/40 R18$$? Округлите результат до десятых.