(C6) Геометрическая задача повышенной сложности
Задание 1913
Биссектриса $$CM$$ треугольника $$ABC$$ делит сторону $$AB$$ на отрезки $$AM=4$$ и $$MB=9$$. Касательная к окружности, описанной около треугольника $$ABC$$, проходит через точку $$C$$ и пересекает прямую $$AB$$ в точке $$D$$. Найдите $$CD$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1231
Биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$K$$. Найдите площадь параллелограмма, если $$BC=6$$, а расстояние от точки $$K$$ до стороны $$AB$$ равно $$6$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1550
Боковые стороны $$AB$$ и $$CD$$ трапеции $$ABCD$$ равны соответственно $$24$$ и $$25$$, а основание $$BC$$ равно $$9$$. Биссектриса угла $$ADC$$ проходит через середину стороны $$AB$$. Найдите площадь трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4211
В выпуклом равностороннем шестиугольнике $$ABCDEF$$ углы при вершинах $$A$$, $$C$$ и $$E$$ – прямые. Найдите площадь шестиугольника, если его сторона равна $$3\sqrt{3-\sqrt{3}}$$
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 330
В выпуклом четырёхугольнике $$ABCD$$ диагонали пересекаются в точке $$O$$. Точка $$N$$ принадлежит отрезку $$AC$$. Известно, что $$BO=15$$, $$DO=9$$, $$AC=30$$. Найдите $$CN$$, если площадь треугольника $$ABN$$ в $$7,5$$ раза меньше площади четырёхугольника $$ABCD$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3263
В выпуклом четырехугольнике $$ABCD$$ отрезок $$CM$$, соединяющий вершину $$C$$ с точкой $$M$$, расположенной на стороне $$AD$$, пересекает диагональ $$BD$$ в точке $$K$$. Известно, что $$CK:KM=2:1$$, $$CD:DK=5:3$$ и $$\angle ABD+\angle ACD=180^{\circ}$$. Найдите отношение стороны $$AB$$ и диагонали $$AC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$\angle ADB =\alpha$$ , $$\angle ADC=\beta$$
по т. Синусов : $$\Delta ABD$$: $$\frac{AB}{\sin \alpha }=\frac{AD}{\sin \angle ABD}(1)$$
$$\sin \angle BAD=$$$$\sin(180-\angle ACD)=$$$$\sin \angle ACD(2)$$
$$\Delta ACD$$ : $$\frac{AD}{\sin \angle ACD}=$$$$\frac{AC}{\sin \beta }(3)$$
Учитывая (1) и (2) и (3) : $$\frac{AB}{\sin \alpha }=\frac{AC}{\sin \beta }\Leftrightarrow$$ $$\frac{AB}{AC}=\frac{\sin\alpha }{\sin \beta }$$
2) Пусть $$MK=x$$ $$\Rightarrow$$ $$CK=2x$$, $$CM=3x$$, $$CD=5y$$ $$\Rightarrow$$ $$DK=3y$$, $$\angle CMD=\delta$$
Из $$\Delta MDK$$ : $$\frac{x}{\sin \alpha }=\frac{3y}{\sin \delta }\Rightarrow$$ $$\sin \alpha =\frac{x\sin \delta }{3y}$$
Из $$\Delta MDC$$ : $$\frac{3x}{\sin \beta }=\frac{5y}{\sin \delta }\Rightarrow$$ $$\sin \beta =\frac{3x \sin \delta }{5y}$$
Тогда $$\frac{AB}{AC}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=$$$$\frac{x \sin \delta }{3y}*\frac{5y}{3x \sin \delta }=$$$$\frac{5}{9}$$
Задание 3931
В выпуклом четырёхугольнике $$ABCD$$ точка $$E$$ – точка пересечения диагоналей. Известно, что площадь каждого из треугольников $$ABE$$ и $$DCE$$ равна $$1$$, площадь четырёхугольника $$ABCD$$ не превосходит $$4$$, $$AD=3$$. Найдите длину стороны $$BC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$S_{ABC}=S_{CED}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$BE\cdot AE=CE\cdot ED$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BE}{ED}=\frac{CE}{EA}$$; $$\angle BEC=\angle AED$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BEC\sim\bigtriangleup AED$$ $$\Rightarrow$$ дана трапеция.
2) Пусть НМ - высота $$\Rightarrow$$ $$S_{BEC}=\frac{1}{2}BC\cdot HE$$; $$S_{AED}=\frac{1}{2}EM\cdot AD$$. Пусть $$EM=x$$ $$\Rightarrow$$ $$HE=kx$$, где $$k$$ - коэфф. подобия $$\Rightarrow$$ $$BC=k\cdot3$$ $$\Rightarrow$$
$$S_{BEC}+S_{AED}=\frac{1}{2}\cdot3k\cdot kx+\frac{1}{2}\cdot3x=\frac{1}{2}\cdot3x(k^{2}+1)\leq2$$ $$\Rightarrow$$ $$x(k^{2}+1)\leq\frac{4}{3}$$ $$(1)$$
$$S_{ABCD}=\frac{3k+3}{2}\cdot(kx+x)<4$$ $$\Rightarrow$$ $$x(k+1)^{2}\leq\frac{8}{3}$$ $$(2)$$
Поделим первое на второе: $$\frac{k^{2}+1}{(k+1)^{2}}\leq\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{8}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{k^{2}+1}{(k+1)^{2}}\leq\frac{1}{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2k^{2}+2\leq k^{2}+2k+1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$k^{2}-2k+1\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(k-1)^{2}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$k=1$$ $$\Rightarrow$$ $$BC=1\cdot3=3$$
Задание 1210
В окружности с центром в точке $$O$$ проведены две хорды $$AB$$ и $$CD$$. Прямые $$AB$$ и $$CD$$ перпендикулярны и пересекаются в точке $$M$$, лежащей вне круга, ограниченного этой окружностью. При этом $$AM=36$$, $$BM=6$$, $$CD=4\sqrt{46}$$. Найдите $$OM$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3309
В остроугольном треугольнике $$ABC$$ на высоте $$AD$$ взята точка $$M$$, а на высоте $$BP$$ – точка $$N$$ так, что углы $$BMC$$ и $$ANC$$ – прямые. Расстояние между точками $$M$$ и $$N$$ равно $$4+2\sqrt{3}$$, $$\angle MCN = 30^{\circ}$$. Найдите биссектрису $$CL$$ треугольника $$CMN$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$\angle APB=\angle ADB=90$$ ,т.к. опирается на AB, то $$A_{1},B_{1},D_{1},P_{1}$$ лежат на одной окружности .
2) $$\angle PDA =\angle PBA$$ (вписаные , на одну дугу)
$$\angle A=90-\angle PBA(\Delta PBA)$$
$$\angle PDC=90-\angle PDA(\Delta ADC)$$
Тогда $$\angle A=\angle PDC$$, и т.к. $$\angle C$$ - общий , то $$\Delta ABC\sim \Delta PDC\Rightarrow$$ $$\frac{CB}{CP}=\frac{AC}{CD}\Leftrightarrow$$ $$AC*CP=BC*CD(1)$$
3) из $$\Delta ACN :CN^{2}=AC*CP$$
Из $$\Delta CMB: CM^{2}=BC*CD$$
С учетом (1): $$CN^{2}=CM^{2}\Rightarrow$$ $$CN=CM$$ и $$\Delta CMP$$ равнобедренный
4) Пусть CH- биссектриса , она и медиана и высота . $$NH=\frac{1}{2} NM=2+\sqrt{3}$$
$$\angle HCN=\frac{1}{2}\angle MCN=15$$
Из $$\Delta CHN \frac{HN}{HC}=tg \angle HCN\Rightarrow$$ $$HC=\frac{2+\sqrt{3}}{tg 15}$$
$$tg 15=\frac{\sin 30}{1+\cos 30}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$$
$$HC=(2+\sqrt{3})^{2}=7+4\sqrt{3}$$
Задание 1920
В параллелограмме $$ABCD$$ проведена диагональ $$AC$$. Точка $$O$$ является центром окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$. Расстояния от точки $$O$$ до точки $$A$$ и прямых $$AD$$ и $$AC$$ соответственно равны $$25$$, $$13$$ и $$7$$. Найдите площадь параллелограмма $$ABCD$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1854
В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ катет $$AC$$ равен $$8$$, а катет $$BC=15$$. Найдите диаметр окружности, которая проходит через концы гипотенузы и касается прямой $$BC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3861
В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ проведена биссектриса $$BE$$, а на гипотенузе $$BC$$ взята точка $$M$$ так, что $$EM \perp BE$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если $$CM=1$$, $$CE=2$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4133
В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ с гипотенузой $$AB$$, равной 10, на высоте $$CD$$ как на диаметре построена окружность. Касательные к этой окружности, проходящие через точки $$A$$ и $$B$$, пересекаются при продолжении в точке $$K$$. Чему равны касательные к окружности, выходящие из точки $$K$$?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$HB=x\Rightarrow AH=10-x$$
по свойству касательных $$MB=HB=x$$
$$AH=AN=10-x$$; пусть $$OH=OC=r$$;
$$KN=KM=z$$
2) По свойству высоты прямоугольного треугольинка:
$$CH=\sqrt{AH\cdot HB}\Leftrightarrow(2r)^{2}=x(10-x)$$
$$\Leftrightarrow r^{2}=\frac{x(10-x)}{4}$$
3) $$S_{AKB}=p\cdot r$$, где
$$p=\frac{AK+KB+AB}{2}$$
$$S=\sqrt{p(p-AK)(P-KB)(p-AB)}$$
$$p=\frac{10+10-x+x+2z}{2}=10+z$$
$$S=\sqrt{(10+z)(10+z-10+x-x)(10+z-x-z)(10+z-10}=$$
$$=\sqrt{(10+z)\cdot x\cdot(10-x)\cdot z}$$
Тогда:
$$r=\frac{S}{p}=\frac{xz(10+z)(10-x)}{10+z}=\sqrt{\frac{xz(10-x)}{10+z}}$$
4) 2 из 3:
$$\sqrt{\frac{x(10-x)}{4}}=\sqrt{\frac{xz(10-x)}{10+z}}$$
$$\frac{1}{4}=\frac{z}{10+z}$$
$$10+z=4z\Leftrightarrow z=\frac{10}{3}$$
Задание 1103
В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ с прямым углом $$B$$, проведена биссектриса угла $$A$$. Известно, что она пересекает серединный перпендикуляр, проведённый к стороне $$BC$$, в точке $$K$$. Найдите градусную меру угла $$BCK$$, если известно, что угол $$ACB$$ равен $$40^{\circ}$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
