(C5) Геометрическая задача на доказательство

Биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$F$$, лежащей на стороне $$CD$$. Докажите, что $$F$$ — середина $$CD$$.

Биссектрисы углов $$C$$ и $$D$$ трапеции $$ABCD$$ пересекаются в точке $$P$$, лежащей на стороне $$AB$$. Докажите, что точка $$P$$ равноудалена от прямых $$BC$$, $$CD$$ и $$AD$$.

В выпуклом четырёхугольнике $$ABCD$$ углы $$ABD$$ и $$ACD$$ равны. Докажите что углы $$DAC$$ и $$DBC$$ также равны.

В остроугольном треугольнике $$ABC$$ проведены высоты $$AA_{1}$$ и $$CC_{1}$$ Докажите, что углы $$CC_{1}A_{1}$$ и $$CAA_{1}$$ равны.

В трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ диагонали пересекаются в точке $$P$$. Докажите, что площади треугольников $$APB$$ и $$CPD$$ равны.

В треугольнике $$ABC$$ с тупым углом $$ACB$$ проведены высоты $$AA_{1}$$ и $$BB_{1}$$. Докажите, что треугольники $$A_{1}CB_{1}$$ и $$ACB$$ подобны.

Внутри параллелограмма $$ABCD$$ выбрали произвольную точку $$E$$. Докажите, что сумма площадей треугольников $$AEB$$ и $$CED$$ равна половине площади параллелограмма.

Известно, что около четырёхугольника $$ABCD$$ можно описать окружность и что продолжения сторон $$AB$$ и $$CD$$ четырёхугольника пересекаются в точке $$M$$. Докажите, что треугольники $$MBC$$ и $$MDA$$ подобны.

Окружности с центрами в точках $$M$$ и $$N$$ пересекаются в точках $$S$$ и $$T$$, причём точки $$M$$ и $$N$$ лежат по одну сторону от прямой $$ST$$. Докажите, что прямые $$MN$$ и $$ST$$ перпендикулярны.

Окружности с центрами в точках $$P$$ и $$Q$$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $$m:n$$. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $$m:n$$.

Основания $$BC$$ и $$AD$$ трапеции $$ABCD$$ равны соответственно $$4,5$$ и $$18$$, $$BD=9$$. Докажите, что треугольники $$CBD$$ и $$BDA$$ подобны.

Сторона $$AD$$ параллелограмма $$ABCD$$ вдвое больше стороны $$AB$$. Точка $$G$$ — середина стороны $$AD$$. Докажите, что $$BG$$ — биссектриса угла $$ABC$$.

Точка $$E$$ — середина боковой стороны $$AB$$ трапеции $$ABCD$$. Докажите, что площадь треугольника $$ECD$$ равна половине площади трапеции.

Через точку $$O$$ пересечения диагоналей параллелограмма $$ABCD$$ проведена прямая, пересекающая стороны $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$P$$ и $$Q$$ соответственно. Докажите, что отрезки $$BP$$ и $$DQ$$ равны.