Геометрическая прогрессия
Задание 1846
Алик, Миша и Вася покупали блокноты и шестирублёвые карандаши. Алик купил $$2$$ блокнота и $$4$$ карандаша, Миша — блокнот и $$6$$ карандашей, Вася — блокнот и $$3$$ карандаша. Оказалось, что суммы, которые уплатили Алик, Миша и Вася, образуют геометрическую прогрессию. Сколько рублей стоит блокнот? Цена блокнота в рублях — рациональное число.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 629
Бизнесмен Печенов получил в $$2000$$ году прибыль в размере $$1000$$ млн руб. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на $$10\%$$ по сравнению с предыдущим годом. Сколько млн рублей заработал Печенов за $$2003$$ год?
Прибыль каждый год увеличивалась на 10%, т.е. становилась равна 110% от прошлого года = 1,1.
Прибыль за 2000 год = 1000 млн рублей.
Прибыль за 2001 год:
$$1000\cdot1,1 = 1100$$ млн рублей
Прибыль за 2002 год:
$$1100\cdot1,1 = 1210$$ млн рублей
Прибыль за 2003 год:
$$1210\cdot1,1 = 1331$$ млн рублей
Задание 4969
В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна $$75$$, а сумма второго и третьего членов равна $$150$$. Найдите первые три члена этой прогрессии. В ответе перечислите через точку с запятой первый, второй и третий члены прогрессии.
Второй член можно записать как : $$b_{2}=b_{1}*q$$. Третий можно записать как: $$b_{3}=b_{1}*q^{2}$$, тогда: $$\left\{\begin{matrix}b_{1}+b_{1}*q=75\\ b_{1}*q+b_{1}*q^{2}=150\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}b_{1}(1+q)=75\\ b_{1}*q(1+q)=150\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\frac{b_{1}*q(1+q)}{b_{1}(1+q)} =\frac{150}{75}=2$$. Тогда $$b_{1}=\frac{75}{q+1}=\frac{75}{2+1}=25$$, $$b_{2}=b_{1}*q=25*2=50 ; b_{3}=b_{2}*q=50*2=100$$
Задание 2484
В последовательности чисел первое число равно $$2$$, а каждое следующее больше предыдущего в $$3$$ раза. Найдите пятое число последовательности.
Задание 1271
В результате трёхкратного повышения цены на некоторый товар на одно и то же число процентов цена товара стала превышать первоначальную цену на $$119,7\%$$. На сколько процентов повышалась цена на товар каждый раз?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 382
В ходе бета-распада радиоактивного изотопа A каждые $$8$$ минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа B. В начальный момент масса изотопа A составляла $$320$$ мг. Найдите массу образовавшегося изотопа B через $$40$$ минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1317
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой $$16$$ мг. Каждые $$20$$ минут масса колонии увеличивается в $$3$$ раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через $$60$$ минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 611
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые $$9$$ минут. В начальный момент масса изотопа составляла $$320$$ мг. Найдите массу изотопа через $$63$$ минуты. Ответ дайте в миллиграммах.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Можно записать следующую зависимость оставшейся массы $$m$$ изотопа от времени $$t$$ мин, зная исходную массу $$M = 320$$ мг и период полураспада $$T = 9$$ мин:
$$m=\frac{M}{2^{\frac{t}{T}}}$$ мг.
Подставим в эту формулу время $$t=63$$ мин и вычислим массу $$m$$, получим:
$$m=\frac{320}{2^{\frac{63}{9}}}=\frac{320}{2^7}=\frac{320}{128}=2,5$$ мг.
Задание 4017
Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: …; $$150$$; $$x$$; $$6$$; $$1,2$$; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой $$x$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
$$b_{n}=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}=$$ $$\sqrt{150\cdot6}=\sqrt{900}=30$$
Задание 2420
Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: $$175$$; $$-525$$; $$1575$$; … Найдите её четвёртый член.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2710
Геометрическая прогрессия $$(b_n)$$ задана условиями: $$b_1 = -2$$, $$b_{n+1} = 2b_n$$. Найдите $$b_7$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4965
Геометрическая прогрессия задана условием $$b_1 = -7$$, $$b_{n+1} = 3b_n$$. Найдите сумму первых пяти её членов.
1 вариант решения: знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формуле: $$\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{3b_{n}}{b_{n}}=3$$. Сумму n-первых членов геометрической прогрессии можно найти по формуле: $$S_{n}=\frac{b_{1}*(1-q^{n})}{1-q}$$. Тогда $$S_{5}=\frac{-7*(1-3^{5})}{1-3}=-847$$ 2 вариант решения: найдем первые пять членов геометрической прогрессии: $$b_{2}=3*b_{1}=3*(-7)=-21$$ ; $$b_{3}=3*b_{2}=3*(-21)=-63$$ ; $$b_{4}=3*b_{3}=3*(-63)=-189$$ ; $$b_{5}=3*b_{4}=3*(-189)=-567$$. Сложим их: $$-7+(-21)+(-63)+(-189)+(-567)=-847$$
Задание 4968
Геометрическая прогрессия задана условием $$b_n = 160 \cdot 3^n$$. Найдите сумму первых четырёх её членов.
Найдем знаменатель геометрической прогрессии: $$q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{160*3^{n+1}}{160*3^{n}}=3$$. Найдем первый член: $$b_{1}=160*3^{1}=480$$. Найдем сумму первый четырех ее членов: $$S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}=\frac{480*(3^{4}-1)}{3-1}=19200$$
Задание 4966
Дана геометрическая прогрессия $$(b_n)$$, для которой $$b_5 = -14$$, $$b_8 = 112$$. Найдите знаменатель прогрессии.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формуле : $$q=\sqrt[m-n]{\frac{b_{m}}{b_{n}}}=\sqrt[8-5]{\frac{112}{-14}}=\sqrt[3]{8}=-2$$