Четырёхугольники

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

∠BAM=∠MAD (биссектриса AM)

∠MAD=∠AMB (накрестлежащие)

Получаем, что ∠BAM=∠AMB, значит треугольник ABM - равнобедренный и AB=BM

Аналогично, треугольник MCD - ранвобедренный , и MC=СD, а так как AB=СD, то BC=2AB => AB=0.5BC=0.5*24=12

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

        1) Пусть $$BH\perp AD\Rightarrow$$ из $$\Delta ABH$$: $$BH=AB \sin A=12*\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$$

        2) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*BH=$$$$\frac{16+40}{2}*4\sqrt{3}=112\sqrt{3}$$

1) Пусть $$L$$ - середина $$AC$$; $$K$$ - середина $$BD$$ $$\Rightarrow$$ $$ML$$ - средняя линия $$\bigtriangleup ABC$$, а $$KN$$ - $$\bigtriangleup DBC$$ $$\Rightarrow$$ $$LM=\frac{BC}{2}=NK$$ и $$LM\parallel BC\parallel NK$$ $$\Rightarrow$$ $$LMNK$$ - параллелограм

2) Аналогично, $$LN$$ - средняя линия $$\bigtriangleup CDA$$; $$MK$$ - $$\bigtriangleup ABD$$ $$\Rightarrow$$ $$LN=\frac{AD}{2}=MK$$, $$LN\parallel AD\parallel MK$$ $$\Rightarrow$$ $$LMNK$$ - прямоугольник $$\Rightarrow$$ $$MN=LK=1$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Пусть $$\angle B_{1}C_{1}B=\alpha$$ , тогда $$\angle D_{1}C_{1}C=90-\alpha$$ , тогда $$\angle C_{1}D_{1}C=\alpha$$ .

Рассуждая аналогично получим :

$$\angle B_{1}C_{1}B=\angle C_{1}D_{1}C =\angle DA_{1}D_{1}=\angle A_{1}B_{1}A=\alpha$$ , следовательно , $$\angle B_{1}C_{1}B\sim \angle C_{1}D_{1}C \sim \angle DA_{1}D_{1}\sim \angle A_{1}B_{1}A$$

2)т.к. $$B_{1}C_{1}:C_{1}D_{1}=1:3$$,то пусть $$B_{1}B=x\Rightarrow CC_{1}=3x, BC_{1}=y$$, тогда $$CD_{1}=3y.$$

3) т.к. $$A_{1}B_{1}=C_{1}D_{1}$$ и $$B_{1}C_{1}=A_{1}D_{1}$$ и все треугольники подобны , то $$\Delta A_{1}B_{1}A=\Delta C_{1}D_{1}C$$ и $$\Delta B_{1}C_{1}B=\Delta DA_{1}D_{1}$$ следовательно $$DD_{1}=x$$

4) из п. 3 получили, что $$BC=y+3x$$ и $$CD=x+3y$$, тогда

$$y+3x=x+3y\Rightarrow x=y$$

5)$$AC=\sqrt{S_{ABCD}}=\sqrt{24}$$

$$\frac{BC_{1}}{CC_{1}}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$$$ BC_{1}=\frac{\sqrt{24}}{4}\Rightarrow$$$$CC_{1}=\frac{3\sqrt{24}}{4}$$

6) $$\Delta B_{1}BC_{1}$$: $$B_{1}C_{1}=\sqrt{(\frac{\sqrt{24}}{4})^{2}+(\frac{\sqrt{24}}{4})^{2}}=\sqrt{3}.$$Тогда $$C_{1}D_{1}=3\sqrt{3}.$$

7)$$S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=3\sqrt{3}*\sqrt{3}=9$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Пусть $$BH$$ и $$CM$$ высоты, тогда в $$\bigtriangleup ABH$$: $$\angle ABH=90^{\circ}-\angle=45^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$AH=HB=\sqrt{2}$$; аналогично $$CM=MD=\sqrt{2}$$

2) $$\bigtriangleup ABD$$ - вписан $$\Rightarrow$$ $$\frac{BD}{\sin A}=2\cdot2$$ $$\Rightarrow$$ $$BD=2\cdot R\sin A=2\cdot3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$$

3) По т. Пифагора из $$\bigtriangleup BDH$$: $$HD=\sqrt{BD^{2}-BH^{2}}=4$$ $$\Rightarrow$$ $$HM=BC=4-\sqrt{2}$$

4) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH=\frac{4-\sqrt{2}+4+\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

a)   Пусть $$K\in AD$$(внутри), тогда:

     1) $$\angle ABK=\angle CBK$$(BK-биссектриса); $$\angle CBK=\angle AKB$$(накрест лежащие) $$\Rightarrow \Delta ABK$$-равнобедренный и $$AB = AK$$

     2) пусть $$AB=4x =12\Rightarrow x=3, KD=3x=9$$$$\Rightarrow AD=21$$

     3) $$P_{ABCD}=2(12+21)=66$$

b)   вне AD. Аналогично $$AK=AB=12$$. Пусть $$DK=3x$$, тогда AK=4x и AD=x. Получаем $$4x=12\Rightarrow x=3$$ и $$P_{ABCD}=2(12+3)=30$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) Пусть $$CH\perp AD$$, тогда $$\Delta CHD$$ – прямоугольный и равнобедренный и $$CH=CD\sin D=$$$$16\sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}=16$$

     2) из $$\Delta AHC$$: $$AH=\sqrt{AC^{2}-CH^{2}}=12$$; т.е. CH и $$AB\perp AD$$, то BH=AH=12; AD=AH+HD=28

     3) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*CH=$$$$\frac{12+28}{2}*16=320$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) BC=5; CD=6; опустим $$CH\perp AD$$ , тогда $$HD=6-5=1$$.

2) Пусть AB=x, тогда CH=x Пусть CD=y , тогда из $$\Delta CHD: x^{2}+1^{2}=y^{2}$$

По свойству описанного многоугольника : $$5+6=x+y$$. Тогда:

$$\left\{\begin{matrix}x^{2} +1=y^{2}\\x+y-11 & &\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}x^{2}+1=(11-x)^{2} \\y=11-x\end{matrix}\right.$$

3)$$S=\frac{5+6}{2}*\frac{60}{11}=30$$.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Построим BH и CM $$\perp AD\Rightarrow$$ 

$$\bigtriangleup BHD$$ - прямоугольный

$$\angle HDB=45^{\circ}\Rightarrow$$ ; $$\angle HBD=45^{\circ}\Rightarrow$$ 

$$BH=HD=x$$

$$BH^{2}+HD^{2}=BD^{2}$$

$$2x^{2}=9\Rightarrow x^{2}=\frac{9}{2}$$ $$\Rightarrow$$

$$x=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$

2) $$BH=CM;AB=CD\Rightarrow$$

$$\bigtriangleup AHB=\bigtriangleup CMD$$ $$\Rightarrow$$

$$AH=MD=y$$ $$\Rightarrow$$

$$HM=\frac{3\sqrt{2}}{2}-y=BC$$

3) $$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=$$

$$=\frac{y+\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}-y}{2}\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}=$$

$$=\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{9}{2}=4,5$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!