Задание 2545
В угол $$C$$ величиной $$18^\circ$$ вписана окружность, которая касается сторон угла в точках $$A$$ и $$B$$, точка $$O$$ — центр окружности. Найдите градусную меру угла $$AOB$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4888
Длина хорды окружности равна $$72$$, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно $$27$$. Найдите диаметр окружности.
1)OA=OC (радиусы), AB - перпендикуляр (так как расстояние), тогда треугольники AOB и OBC прямоугольные и равные по катету и гипотенузе
2)AB=BC=0,5AC=36, тогда по теореме Пифагора из треугольника AOB: $$AO=\sqrt{36^{2}+27^{2}}=45$$, следовательно, диаметр составит $$2*45=90$$
Задание 4380
Из точки $$A$$ проведены две касательные к окружности с центром в точке $$O$$. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен $$60^\circ$$, а расстояние от точки $$A$$ до точки $$O$$ равно $$6$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Проведем радиусы в точки касания и получим два равных прямоугольных треугольника. Значит ОА - биссектриса угла А. Значит она делит угол пополам, и получаем в треугольнике угол в 30 градусов. А катет (в нашем случае это радиус окружности), лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, то есть половине ОА или 3
Задание 3225
Касательные в точках $$A$$ и $$B$$ к окружности с центром $$O$$ пересекаются под углом $$96^\circ$$. Найдите угол $$ABO$$. Ответ дайте в градусах.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
- $$\angle AOB=180-\angle C=84\Rightarrow$$ $$\angle OAB+\angle ABO=96$$
- $$OA=OB$$(радиусы)$$\Rightarrow$$ $$\angle ABO=\frac{96}{2}=48$$
Задание 1959
На отрезке $$AB$$ выбрана точка $$C$$ так, что $$AC = 60$$, $$BC = 15$$. Построена окружность с центром $$A$$, проходящая через $$C$$. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки $$B$$ к этой окружности.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2499
Отрезки $$AC$$ и $$BD$$ — диаметры окружности с центром $$O$$. Угол $$ACB$$ равен $$53^\circ$$. Найдите угол $$AOD$$. Ответ дайте в градусах.
Задание 2579
Отрезок $$AB=18$$ касается окружности радиуса $$80$$ с центром $$O$$ в точке $$B$$. Окружность пересекает отрезок $$AO$$ в точке $$D$$. Найдите $$AD$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4316
Прямая касается окружности в точке $$K$$. Точка $$O$$ – центр окружности. Хорда $$KM$$ образует с касательной угол, равный $$50^\circ$$. Найдите величину угла $$MOK$$. Ответ дайте в градусах.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, значит ∠OKM = 90 - 50 = 40. Треугольник OMK равнобедренный ( так как OK ; OM - радиусы ). Значит ∠OMK = ∠OKM = 40 ∠MOK = 180 - ∠OMK - ∠OKM = 180 - 80 = 100
Задание 2984
Прямая касается окружности в точке $$K$$. Точка $$O$$ – центр окружности. Хорда $$KM$$ образует с касательной угол, равный $$70^\circ$$. Найдите величину угла $$OMK$$. Ответ дайте в градусах.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$\angle K=90$$ (по свойству радиус в точку касания) $$\Rightarrow$$ $$\angle OKM=90-70=20$$
2) $$OK=OM$$ – радиусы $$\Rightarrow$$ $$\Delta OMK$$ - равнобедренный и $$\angle OMK=\angle OKM=20$$
Задание 799
Радиус $$OB$$ окружности с центром в точке $$O$$ пересекает хорду $$MN$$ этой окружности в её середине — точке $$K$$. Найдите длину хорды $$MN$$, если $$KB = 1$$, а радиус окружности равен $$13$$.
Построим радиусы ОН и ОМ.
Так как радиус ОВ перпендикулярен хорде МН, то треугольники ОКМ и ОКН прямоугольные.
В треугольниках ОКМ и ОКН катет ОК общий, а гипотенузы $$ОМ = ОН = R = 13$$ см.
Тогда прямоугольные треугольники ОКМ и ОКН равны по катету и гипотенузе, а значит $$КМ = КН.$$
Радиус $$ОВ = 13 = ВК + ОК = 1 + ОК.$$
$$ОК = 13 – 1 = 12$$ см.
По теореме Пифагора, из прямоугольного треугольника ОКН определим длину катета КН.
$$КН^2=ОН^2-ОК^2=169-144=25.$$
$$КН=5$$ см.
Тогда хорда $$МН=5+5=10$$ см.
Задание 834
Радиус окружности с центром в точке $$O$$ равен $$50$$, длина хорды $$AB$$ равна $$96$$. Найдите расстояние от хорды $$AB$$ до параллельной ей касательной $$k$$. В ответе запишите произведение найденных значений.
$$OA=50;OM\perp AB;OB=50\Rightarrow AM=MB=48\Rightarrow OM=\sqrt{50^2-48^2}=14$$
$$\Rightarrow MN=50-14=36$$
$$LM=50+14=64$$
$$LM\cdot MN=2304$$
Можно по свойству хорд: $$LM\cdot MN=AM\cdot MB=48\cdot48=2304$$
Задание 4911
Радиус окружности с центром в точке $$O$$ равен $$85$$, длина хорды $$AB$$ равна $$80$$. Найдите расстояние от хорды $$AB$$ до параллельной ей касательной $$k$$.
Пусть EH - общий перпендикуляр к AB и k, тогда EH - искомое расстояние. Из треугольника AOH (прямоугольный) по теореме Пифагора: $$OH=\sqrt{OA^{2}-AH^{2}}$$, AH=0,5AB=40, тогда: $$OH=\sqrt{85^{2}-40^{2}}=75$$. EH=EO+OH=85+75=160.
Задание 1094
Точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$ лежат на одной окружности так, что хорды $$AB$$ и $$CD$$ взаимно перпендикулярны, а $$\angle BDC = 25^\circ$$. Найдите градусную меру угла $$ACD$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1254
Хорды $$AC$$ и $$BD$$ окружности пересекаются в точке $$P$$, $$BP = 9$$, $$CP = 15$$, $$DP = 20$$. Найдите $$AP$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
