Окружность и четырехугольник

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Так как AB = BC, AD = CD, то $$\angle A=\angle C$$. Сумма углов выпуклового четырехугольника составляет $$360^{\circ}$$, следовательно, $$\angle A=\frac{360^{\circ}-\angle B -\angle D}{2}=\frac{360-77-141}{2}=71^{\circ}$$

AB+CD=AD+BC (свойство описанного четырехугольника), но AB=CD, AD=BC (свойство параллелограмма), тогда AB=BC=CD=AD, и ABCD - ромб, тогда его периметр $$6*4=24$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны $$\Rightarrow$$ сумма оснований равна 12.Средняя линия равна полусумме оснований $$\Rightarrow$$ 6

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) То что FGED - четверть окружности с центром F и радиусом FD=FG, дает то, что FD ⟂ FG, а значит FD - высота в ∆ADB (она же медиана в равностороннем треугольнике).

2) Если площадь четверти круга равна $$9\pi$$, то площадь всего круга равна $$4\cdot9\pi = 36\pi$$

Но площадь круга $$S = πR² = 36π$$, откуда $$R² = 36$$ и $$FD = R = 6$$

3) высота в равностороннем треугольнике $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

(если не помним, то из ∆DFB - прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$FD² = DB² - FB², FB=\frac{DB}{2}$$

$$FD² = DB² - (\frac{DB}{2})² = \frac{3DB²}{4}$$ и $$FD = \frac{DB\sqrt{3}}{2}$$)

Таким образом $$DB = \frac{2FD}{\sqrt{3}} = 2\cdot\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$$

4) Так как ∆BEC равносторонний, то ∠EBC = 60˚ => ∠ABE = 180˚ - ∠EBC = 120˚ (смежный угол)

5) Рассмотрим ∆FBE: $$FE = 6; FB = \frac{DB}{2} = 2\sqrt{3}$$ и $$∠FBE = 120˚$$

По теореме косинусов $$FE² = FB² + BE² - 2FB\cdot BE\cdot \cos(∠FBE)$$

$$36 = 12 + BE² - 2\cdot2\sqrt{3}\cdot(-0,5)\cdot BE$$

$$BE² + 2\sqrt{3}BE - 24 = 0$$

$$D = 12 + 4\cdot24 = 108 = 3\cdot36$$

$$ВЕ = \frac{-2\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$ (второй корень отрицательный и не подходит)

Получили BE = FB

6) Рассмотрим ∆DBF и ∆DBE: DB=DB (общая), FB=BE, и ∠FBD = ∠DBE = 60˚ => ∆DBF = ∆DBE и тогда DE = DF = 6

Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника составляет 180 градусов, следовательно, больший из оставшихся будет равен $$180-58=122^{\circ}$$ (второй из оставшихся $$180-82=98^{\circ}$$)

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 Если в прямоугольник вписана окружность, то он квадрат. Пусть х -сторона $$\Rightarrow$$ $$x=2\cdot r=20$$; $$P=4x=4\cdot20=80$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$r=12$$ $$\Rightarrow$$ $$a=24$$; $$P=24\cdot4=96$$

Пусть R - радиус и D - диаметр окружности, a - сторона квадрата. Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности. Найдём площадь квадрата:

$$S=D^2=(2R)^2=(2\cdot25)^2=2500$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Радиус вписанной окружности в квадрат равен половине стороны квадрата, описанной около квадрата - половине диагонали. Пусть а - сторона квадрата, тогда диагонали квадрата $$a\sqrt{2}$$, следовательно: $$\frac{a\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$$. Тогда $$a=12$$, и радиус вписанной окружности $$\frac{12}{2}=6$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!