Задание 4137
Задание 4137
Найдите значение выражения: $$\frac{\sqrt{47 + 12\sqrt{11}}}{\sqrt{6} + \sqrt{11}} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{11})$$
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Рассмотрим $$47+12\sqrt{11}$$ и выделим полный квадрат:
$$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$
$$\left\{\begin{matrix}a^{2}+b^{2}=47\\2ab=12\sqrt{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}a^{2}+b^{2}=47(1)\\ab=6\sqrt{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$
Пусть $$a=6$$, $$b=\sqrt{11}$$ проверим, подставляя в (1):
$$6^{2}+\sqrt{11}^{2}=36+11=47\Rightarrow$$
$$47+12\sqrt{11}=(6+\sqrt{11})^{2}$$
$$\frac{\sqrt{47+12\sqrt{11}}}{\sqrt{6+\sqrt{11}}}\cdot\sqrt{6-\sqrt{11}}=$$
$$=\frac{\sqrt{(6+\sqrt{11})^{2}\cdot(6-\sqrt{11})}}{\sqrt{6+\sqrt{11}}}=$$
$$=\sqrt{(6+\sqrt{11})(6-\sqrt{11})}=\sqrt{36-11}=\sqrt{25}=5$$
Задание 4502
Найдите значение выражения: $$\frac{\sqrt{71 + 12\sqrt{35}}}{\sqrt{6} + \sqrt{35}} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{35})$$
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
$$\frac{\sqrt{71+12\sqrt{35}}}{\sqrt{6+\sqrt{35}}}\cdot\sqrt{6-\sqrt{35}}$$ Пусть $$\left\{\begin{matrix}a^{2}+b^{2}=71\\2ab=12\sqrt{35}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a^{2}+b^{2}=71\\ab=6\sqrt{35}\end{matrix}\right.$$ $$a=6$$, $$b=\sqrt{35}$$ $$71+12\sqrt{35}=(6+\sqrt{35})^{2}$$ $$\frac{\sqrt{(6+\sqrt{35})^{2}}}{6+\sqrt{35}}\cdot (6-\sqrt{35})=$$ $$=(6+\sqrt{35})\cdot (6-\sqrt{35})=6^{2}-(\sqrt{35})^{2}=36-35=1$$
Задание 3430
Найдите значение выражения: $$\frac{\sqrt{97 + 56\sqrt{3}}}{\sqrt{7} + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$$
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
$$\frac{\sqrt{97+56\sqrt{3}}}{\sqrt{7+4\sqrt{3}}}*\sqrt{7-4\sqrt{3}}$$ Выделим полный квадрат из $$97 +56\sqrt{3}$$ $$\left\{\begin{matrix}a^{2}+b^{2} =97\\2ab=56\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a^{2}+b^{2}=97(1)\\ab=28 \sqrt{3}\end{matrix}\right.$$ $$28\sqrt{3}=2*2*7*\sqrt{3}$$, пусть a = 7 , тогда $$b=4\sqrt{3}.$$ Выполним выполнение равенства(1): $$7^{2}+(4\sqrt{3})^{2}=49+48=97$$ –верно, тогда $$97+56*\sqrt{3}=(7+4\sqrt{3})^{2}.$$ Получим: $$\sqrt{\frac{(7+4\sqrt{3})^{2}}{7+4\sqrt{3}}*(7-4\sqrt{3})}=$$$$\sqrt{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})}=\sqrt{49-48}=1.$$