(C4) Геометрическая задача на вычисление
Задание 2637
$$AA_{1}$$ – медиана треугольника $$ABC$$. Точка $$C_{1}$$ лежит на стороне $$AB$$, причём $$AC_{1}:C_{1}BB=1:2$$. Отрезки $$AA_{1}$$ и $$CC_{1}$$ пересекаются в точке $$M$$. Найдите отношение $$CM:MC_{1}$$
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4543
$$ABC$$ – равнобедренный треугольник с основанием $$AC$$, $$CD$$ – биссектриса угла $$C$$, $$\angle ADC=150^{\circ}$$. Найдите $$\angle B$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
|
1) Пусть $$\angle A=\angle C=x$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle ACD=\frac{x}{2}$$ (CD-биссектриса) 2) $$x+\frac{x}{2}+150=180^{\circ}$$ (из $$\bigtriangleup ADC$$) $$1,5x=30$$ $$\Rightarrow$$ $$x=20^{\circ}$$ 3) $$\angle B=180^{\circ}-2x=180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}$$ |
 |
Задание 3092
Биссектриса $$AD$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ делит его на треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ площадью $$4$$ см2 и $$2$$ см2 соответственно. Найдите стороны треугольника $$ABC$$, если $$AC$$ – его основание.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Т.к. $$\Delta ABD$$ и $$\Delta ADC$$ имеют общую вершину A , то : $$\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{BD}{DC}=\frac{4}{2}=\frac{2}{1}$$. Пусть $$BD=2x$$, тогда $$DC=x$$ и $$AB=BC=3x$$
2) По свойству биссектрисы: $$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{1}$$, тогда $$AC=\frac{AB}{2}=1,5 x$$
3) $$S_{ABC}=4+2=6$$, По формуле Герона : $$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{15x}{4}$$; $$6=\sqrt{(\frac{15x}{4}-3x)^{2}*(\frac{15x}{4}-\frac{3x}{2})*\frac{15x}{4}}$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{9x^{2}}{16}\sqrt{15}=6$$$$\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{4\sqrt{6}}{3\sqrt[4]{15}}$$. Тогда $$AB=BC=\frac{4\sqrt{16}}{\sqrt[4]{15}}$$ и $$AC=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt[4]{15}}$$
Задание 1812
Биссектриса угла $$A$$ параллелограмма $$ABCD$$ пересекает его сторону $$BC$$ в точке $$E$$. Найдите площадь параллелограмма $$ABCD$$, если $$BE=5$$, $$EC=2$$ , а $$\angle ABC=150^{\circ}$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1765
Биссектриса угла $$A$$ параллелограмма $$ABCD$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$K$$. Найдите периметр параллелограмма, если $$BK=8$$, $$CK=13$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3672
Биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ при боковой стороне $$AB$$ трапеции $$ABCD$$ пересекаются в точке $$F$$. Найдите $$AB$$, если $$AF=24$$, $$BF=10$$.
Задание 3677
Биссектрисы углов $$A$$ и $$D$$ параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке, лежащей на стороне $$BC$$. Найдите $$AB$$, если $$BC=24$$.
∠BAM=∠MAD (биссектриса AM)
∠MAD=∠AMB (накрестлежащие)
Получаем, что ∠BAM=∠AMB, значит треугольник ABM - равнобедренный и AB=BM
Аналогично, треугольник MCD - ранвобедренный , и MC=СD, а так как AB=СD, то BC=2AB => AB=0.5BC=0.5*24=12
Задание 3072
Боковая сторона неравнобедренной трапеции равна $$12$$ см и образует с большим основанием угол $$60$$. Основания трапеции равны $$16$$ см и $$40$$ см. Найдите площадь трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$BH\perp AD\Rightarrow$$ из $$\Delta ABH$$: $$BH=AB \sin A=12*\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$$
2) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*BH=$$$$\frac{16+40}{2}*4\sqrt{3}=112\sqrt{3}$$
Задание 3679
В выпуклом четырёхугольнике $$ABCD$$ длина отрезка, соединяющего середины сторон $$AB$$ и $$CD$$ равна одному метру. Прямые $$BC$$ и $$AD$$ перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$.
1) Пусть $$L$$ - середина $$AC$$; $$K$$ - середина $$BD$$ $$\Rightarrow$$ $$ML$$ - средняя линия $$\bigtriangleup ABC$$, а $$KN$$ - $$\bigtriangleup DBC$$ $$\Rightarrow$$ $$LM=\frac{BC}{2}=NK$$ и $$LM\parallel BC\parallel NK$$ $$\Rightarrow$$ $$LMNK$$ - параллелограм
2) Аналогично, $$LN$$ - средняя линия $$\bigtriangleup CDA$$; $$MK$$ - $$\bigtriangleup ABD$$ $$\Rightarrow$$ $$LN=\frac{AD}{2}=MK$$, $$LN\parallel AD\parallel MK$$ $$\Rightarrow$$ $$LMNK$$ - прямоугольник $$\Rightarrow$$ $$MN=LK=1$$
Задание 2722
В выпуклом четырехугольнике $$ABCD$$ расстояние между серединами смежных сторон равны $$2$$ и $$3$$. Острый угол в четырёхугольнике, вершинами которого являются середины сторон исходного, равен $$30$$. Найдите площадь четырехугольника $$ABCD$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3427
В квадрат, площадью $$24$$ см2 вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата лежит одна вершина прямоугольника. Длины сторон прямоугольника относятся как $$1:3$$. Найдите площадь прямоугольника.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$\angle B_{1}C_{1}B=\alpha$$ , тогда $$\angle D_{1}C_{1}C=90-\alpha$$ , тогда $$\angle C_{1}D_{1}C=\alpha$$ .
Рассуждая аналогично получим :
$$\angle B_{1}C_{1}B=\angle C_{1}D_{1}C =\angle DA_{1}D_{1}=\angle A_{1}B_{1}A=\alpha$$ , следовательно , $$\angle B_{1}C_{1}B\sim \angle C_{1}D_{1}C \sim \angle DA_{1}D_{1}\sim \angle A_{1}B_{1}A$$
2)т.к. $$B_{1}C_{1}:C_{1}D_{1}=1:3$$,то пусть $$B_{1}B=x\Rightarrow CC_{1}=3x, BC_{1}=y$$, тогда $$CD_{1}=3y.$$
3) т.к. $$A_{1}B_{1}=C_{1}D_{1}$$ и $$B_{1}C_{1}=A_{1}D_{1}$$ и все треугольники подобны , то $$\Delta A_{1}B_{1}A=\Delta C_{1}D_{1}C$$ и $$\Delta B_{1}C_{1}B=\Delta DA_{1}D_{1}$$ следовательно $$DD_{1}=x$$
4) из п. 3 получили, что $$BC=y+3x$$ и $$CD=x+3y$$, тогда
$$y+3x=x+3y\Rightarrow x=y$$
5)$$AC=\sqrt{S_{ABCD}}=\sqrt{24}$$
$$\frac{BC_{1}}{CC_{1}}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$$$ BC_{1}=\frac{\sqrt{24}}{4}\Rightarrow$$$$CC_{1}=\frac{3\sqrt{24}}{4}$$
6) $$\Delta B_{1}BC_{1}$$: $$B_{1}C_{1}=\sqrt{(\frac{\sqrt{24}}{4})^{2}+(\frac{\sqrt{24}}{4})^{2}}=\sqrt{3}.$$Тогда $$C_{1}D_{1}=3\sqrt{3}.$$
7)$$S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=3\sqrt{3}*\sqrt{3}=9$$
Задание 3768
В окружности радиуса $$16$$ см проведена хорда длиной, равной $$8$$ см через один конец хорды проведена касательная, а через другой – секущая, параллельная касательной. Найдите расстояние между касательной и секущей.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2611
В окружность радиуса $$3$$ вписана равнобедренная трапеция с углом $$45^{\circ}$$ при основании и высотой, равной $$\sqrt{2}$$ . Найдите площадь этой трапеции
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$BH$$ и $$CM$$ высоты, тогда в $$\bigtriangleup ABH$$: $$\angle ABH=90^{\circ}-\angle=45^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$AH=HB=\sqrt{2}$$; аналогично $$CM=MD=\sqrt{2}$$
2) $$\bigtriangleup ABD$$ - вписан $$\Rightarrow$$ $$\frac{BD}{\sin A}=2\cdot2$$ $$\Rightarrow$$ $$BD=2\cdot R\sin A=2\cdot3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$$
3) По т. Пифагора из $$\bigtriangleup BDH$$: $$HD=\sqrt{BD^{2}-BH^{2}}=4$$ $$\Rightarrow$$ $$HM=BC=4-\sqrt{2}$$
4) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH=\frac{4-\sqrt{2}+4+\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$
Задание 3360
В параллелограмме $$ABCD$$ биссектриса тупого угла $$B$$ пересекает сторону $$AD$$ в точке $$K$$. Найти периметр параллелограмма, если $$AB=12$$ и $$AK:KD=4:3$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
a) Пусть $$K\in AD$$(внутри), тогда:
1) $$\angle ABK=\angle CBK$$(BK-биссектриса); $$\angle CBK=\angle AKB$$(накрест лежащие) $$\Rightarrow \Delta ABK$$-равнобедренный и $$AB = AK$$
2) пусть $$AB=4x =12\Rightarrow x=3, KD=3x=9$$$$\Rightarrow AD=21$$
3) $$P_{ABCD}=2(12+21)=66$$
b) вне AD. Аналогично $$AK=AB=12$$. Пусть $$DK=3x$$, тогда AK=4x и AD=x. Получаем $$4x=12\Rightarrow x=3$$ и $$P_{ABCD}=2(12+3)=30$$
Задание 3172
В прямоугольной трапеции с острым углом $$45^{\circ}$$, большая боковая сторона равна $$16\sqrt{2}$$ см, а меньшая диагональ равна $$20$$ см. Найдите площадь трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$CH\perp AD$$, тогда $$\Delta CHD$$ – прямоугольный и равнобедренный и $$CH=CD\sin D=$$$$16\sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}=16$$
2) из $$\Delta AHC$$: $$AH=\sqrt{AC^{2}-CH^{2}}=12$$; т.е. CH и $$AB\perp AD$$, то BH=AH=12; AD=AH+HD=28
3) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*CH=$$$$\frac{12+28}{2}*16=320$$