Системы уравнений

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Из первого уравнения получаем: $$(x-4)(y-7)=0 \Rightarrow x=4$$ или $$y=7.$$

1) Пусть $$x=4.$$ Подставим во второе уравнение: $$\dfrac{y-5}{4+y-9}=2 \;\Rightarrow\; \dfrac{y-5}{y-5}=2.$$ Если $$y\neq5,$$ то левая часть равна $$1,$$ получаем противоречие $$1=2.$$ Если $$y=5,$$ то знаменатель равен нулю, дробь не имеет смысла. Следовательно, при $$x=4$$ решений нет.

2) Пусть $$y=7.$$ Подставим во второе уравнение: $$\dfrac{7-5}{x+7-9}=2 \;\Rightarrow\; \dfrac{2}{x-2}=2.$$ Отсюда $$\dfrac{2}{x-2}=2 \;\Rightarrow\; \dfrac{1}{x-2}=1 \;\Rightarrow\; x-2=1 \;\Rightarrow\; x=3.$$ Проверим знаменатель: $$x+y-9=3+7-9=1\neq 0.$$ Значит, пара $$(3;7)$$ является решением системы.

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x+5}{y-3}=0\\ 2y^2+x^2-y=40 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x+5=0\\ y-3\neq0\\ 2y^2+x^2-y=40 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x=-5\\ 2y^2+25-y=40\\ y\neq3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x=-5\\ 2y^2-y-15=0\\ y\neq3 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x=-5\\ y=-2,5 \end{matrix}\right.$$

$$2y^2-y-15=0$$

$$D=1+120=121$$

$$y_1=\frac{1+11}{4}=3$$ - не подходит

$$y_2=\frac{1-11}{4}=-2,5$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Разделим второе уравнение на $$2$$: $$5x^2 + y^2 = 18x.$$ Теперь из первого уравнения $$5x^2 + y^2 = 36,$$ а из превращённого второго $$5x^2 + y^2 = 18x.$$ Приравниваем правые части: $$36 = 18x \;\Rightarrow\; x = 2.$$

2) Подставим $$x = 2$$ в первое уравнение: $$5\cdot 2^2 + y^2 = 36 \;\Rightarrow\; 20 + y^2 = 36 \;\Rightarrow\; y^2 = 16,$$ откуда $$y = 4$$ или $$y = -4.$$ Получаем решения $$(2;4)$$ и $$(2;-4).$$

1) Из второго уравнения выразим, например, $$y$$: $$y = \dfrac{12}{x},\quad x \neq 0.$$ Подставим в первое уравнение: $$x^2 + \left(\dfrac{12}{x}\right)^2 = 25.$$ Умножим на $$x^2$$: $$x^4 + 144 = 25x^2.$$ Переносим всё в одну сторону: $$x^4 - 25x^2 + 144 = 0.$$ Обозначим $$t = x^2$$ (учитывая $$t \ge 0$$): $$t^2 - 25t + 144 = 0.$$

2) Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = (-25)^2 - 4\cdot 1\cdot 144 = 625 - 576 = 49.$$ Корни: $$t_{1,2} = \dfrac{25 \pm \sqrt{49}}{2} = \dfrac{25 \pm 7}{2}.$$ Тогда $$t_1 = \dfrac{32}{2} = 16,\qquad t_2 = \dfrac{18}{2} = 9.$$ То есть $$x^2 = 16 \quad\text{или}\quad x^2 = 9.$$ Отсюда $$x = \pm 4,\qquad x = \pm 3.$$

3) Для каждого $$x$$ найдём $$y = \dfrac{12}{x}.$$

Если $$x = 3,$$ то $$y = 4.$$ Если $$x = -3,$$ то $$y = -4.$$ Если $$x = 4,$$ то $$y = 3.$$ Если $$x = -4,$$ то $$y = -3.$$

Получаем четыре решения: $$(3;4),\ (-3;-4),\ (4;3),\ (-4;-3).$$

1) Из первого уравнения: $$y = 5 - x^2.$$ Подставим во второе: $$6x^2 - (5 - x^2) = 2.$$ Упростим: $$7x^2 - 5 = 2,$$ $$7x^2 = 7,$$ $$x^2 = 1.$$ Корни: $$x = \pm 1.$$

2) Найдём $$y.$$ Для $$x = 1$$: $$y = 5 - 1 = 4.$$ Для $$x = -1$$: $$y = 5 - 1 = 4.$$ Решения: $$(1;4),\ (-1;4).$$

$$\left\{\begin{matrix}(2x+3)^{2}=5y,\\(3x+2)^{2}=5y\end{matrix}\right.$$ $$(2x+3)^{2}=(3x+2)^{2}\Leftrightarrow$$$$(2x+3)^{2}-(3x+2)^{2}=0\Leftrightarrow$$$$(2x+3-3x-2)(2x+3+3x+2)=0\Leftrightarrow$$$$(1-x)(5x+5)=0\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=1\\x_{2}=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left[\begin{matrix}(2*1+3)^{2}=5y_{1}\\(2*(-1)+3)^{2}=5y_{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left[\begin{matrix}y_{1}=5\\y_{2}=\frac{1}{5}\end{matrix}\right.$$ В итоге получаем точки: (1; 5), (-1; $$\frac{1}{5}$$)

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\left\{\begin{matrix}(x-1)(y-1)=1\\x^{2}y+xy^{2}=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}xy-x*y+1=1\\xy(x+y)=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}xy-(x+y)=0\\xy(x+y)=16\end{matrix}\right.$$

   Пусть: $$xy=a$$ , $$x+y=b$$

$$\left\{\begin{matrix}x-b=0\\ab=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=b\\a^{2}=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}b=\pm 4\\a=\pm 4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}xy=4\\x+y=4\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}xy=-4\\x+y=-4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}4y-y^{2}-4=0\\x=4-y\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}-4y-y^{2}+4=0\\x=-4-y\end{matrix}\right.\end{matrix}\right. \Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y^{2}-4y+4=0\\x=4-y\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}y^{2}+4y-4=0\\x=-4-y\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y=2\\x=2\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}y=-2+\sqrt{2}\\x=-2-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}y=-2-\sqrt{2}\\x=-2+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

$$y^{2}+4y-4=0$$

$$D=16+16=32$$

$$y_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{32}}{2}=-2\pm \sqrt{2}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     $$\left\{\begin{matrix}(x+y)^{2}+2x=35-2y\\(x-y)^{2}-2y=3-2x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x+y)^{2}=35-2(x+y)\\(x-y)^{2}=3-2(x-y)\end{matrix}\right.$$

     Пусть x+y=a; x-y=6

     $$\left\{\begin{matrix}a^{2}=35-2a\\b^{2}=3-2b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a^{2}+2a-35=0\\b^{2}+2b-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}a=-7\\a=5\end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix}b=-3\\b=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

     Получаем четыре пары решений: (-7;-3);(-7;1);( 5;-3); (5;1)

     1) $$\left\{\begin{matrix}x+y=-7\\x-y=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$2x=-10\Leftrightarrow$$ $$x=-5\Leftrightarrow$$ $$y=-2$$

     2) $$\left\{\begin{matrix}x+y=-1\\x-y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$2x=-6\Leftrightarrow$$$$x=-3\Leftrightarrow$$ $$y=-4$$

     3) $$\left\{\begin{matrix}x+y=5\\x-y=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$2x=2\Leftrightarrow$$ $$x=1\Leftrightarrow$$ $$y=4$$

     4) $$\left\{\begin{matrix}x+y=5\\x=y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$2x=6\Leftrightarrow$$ $$x=3\Rightarrow$$ $$y=2$$

$$\left\{\begin{matrix}3x-y=2,\\x^{2}-4x+8=y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}3x-2=y,\\x^{2}-4x+8=3x-2\end{matrix}\right.$$ $$x^{2}-4x+8=3x-2\Leftrightarrow$$$$x^{2}-7x+10=0\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=7\\x_{1}*x_{2}=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left[\begin{matrix}x_{1}=5\\x_{2}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left[\begin{matrix}y_{1}=3*5-2=13\\y_{2}=3*2-2=4\end{matrix}\right.$$ В итоге получаем две точки: (2; 4), (5; 13)

$$\left\{\begin{matrix}3x+y=5,\\\frac{x+2}{5}+\frac{y}{2}=-1|\cdot10\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}y=5-3x\\2x+4+5y=-10\end{matrix}\right.$$; $$2x+4+5(5-3x)=-10$$; $$2x+4+25-15x=-10$$; $$-13x=-39$$; $$x=-3$$; $$y=5-3\cdot3=5-9=-4$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\left\{\begin{matrix}5(2x-1)+1=6(y+1)-8\\2(x+3y)+5=3(y-2x)+4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}10x-5+1-6y-6+8=0\\2x+6y+5-3y+6x-4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}10x-6y-2=0\\8x+3y+1=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}10x-6y-2=0\\16x+6y+2=0\end{matrix}\right.$$ Сложим первое и второе , $$10x+16x-6y+6y-2+2=0$$ $$26x=0 \Rightarrow x=0$$ Тогда : $$10*0-6y-2=0 \Leftrightarrow 6y=-2 \Leftrightarrow y=-\frac{1}{3}$$

$$\left\{\begin{matrix}x-y=-5,\\x^{2}-2xy-y^{2}=17\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=y-5\\x^{2}-2xy-y^{2}=17\end{matrix}\right.$$; $$(y-5)^{2}-2(y-5)y-y^{2}=17$$; $$y^{2}-10y+25-2y^{2}+10y-y^{2}=17$$; $$-2y^{2}=-8$$; $$y^{2}=4$$;

$$\left\{\begin{matrix}y_{1}=2\\y_{2}=-2\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=2-5=-3\\x_{2}=-2-5=-7\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\left\{\begin{matrix}x+4y=18\\x^{2}+y^{2}=20\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=18-4y\\(18-4y)^{2}+y^{2}=20\end{matrix}\right.$$

$$324-144y+16y^{2}+y^{2}-20=0\Leftrightarrow$$$$17y^{2}-144y+304=0$$

$$D=20736-20672=64$$

$$y_{1}=\frac{144+8}{34}=\frac{76}{77}\Rightarrow$$ $$x_{1}=18-4*\frac{76}{77}=\frac{2}{17}$$

$$y_{2}=\frac{144-8}{34}=4\Rightarrow$$ $$ x_{2}=18-4*4=2$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     $$\left\{\begin{matrix}x+xy+y=5\\x^{2}+xy+y^{2}=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x+y)+xy=5\\x^{2}+2xy+y^{2}-xy=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x+y)+xy=5\\(x+y)^{2}-xy=7\end{matrix}\right.$$

     Пусть x+y=a; xy=b

     $$\left\{\begin{matrix}a+b=5(1)\\a^{2}-b=7(2)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$b=5-a$$

     Сложим (1) и (2): $$a^{2}+a=12\Leftrightarrow$$ $$a^{2}+a-12=0$$

     $$\left\{\begin{matrix}a_{1}+a_{2}=-1\\a_{1}*a_{2}=-12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a_{1}=-4\\a_{2}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}b=5-(-4)=9\\b=5-3=2\end{matrix}\right.$$

     $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x+y=-4\\xy=9\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x+y=3\\xy=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x=4-y\\(-4-y)y=9\end{matrix}\right. (1)\\\left\{\begin{matrix}x=3+y\\(3-y)y=2\end{matrix}\right.(2)\end{matrix}\right.$$

     (1): $$-y^{2}-4y-9=0\Leftrightarrow$$ $$y^{2}+4y+9=0\Leftrightarrow$$ $$D=16-36<0\Rightarrow$$ решений нет

     (2): $$3y-y^{2}=2\Leftrightarrow$$ $$y^{2}-3y+2=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}y_{1}=1\\y_{2}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=2\\x_{2}=1\end{matrix}\right.$$