Задание 4912
$$ABCDEFGH$$ — правильный восьмиугольник. Найдите угол $$EFG$$. Ответ дайте в градусах.
Так как дан правильный восьмиугольник, то всего его углы равны. Угол же правильного n-угольника можно найти по формуле :$$\alpha =\frac{n-2}{n}*180$$, тогда $$\angle EFG=\frac{8-2}{8}*180=135^{\circ}$$
Задание 831
Дан квадрат $$ABCD$$. На его диагонали $$DB$$ отмечены точки $$E$$, $$F$$, $$G$$ таким образом, что $$DE = EF = FG = GB$$ (см. рисунок). Пусть $$H$$ — точка пересечения прямых $$AD$$ и $$CE$$, а $$I$$ — точка пересечения прямых $$HF$$ и $$BC$$. Найдите сумму площадей треугольников $$ABG$$, $$FGI$$, $$HFE$$ и $$DEC$$, если известно, что $$AC = 12\sqrt{2}$$.
Пусть $$S_{ABCD}=S.$$ Тогда:
$$S_{ADB}=\frac{S}{2};S_{AGB}=\frac{GB}{DB}S_{ADB}=\frac{1}{4}\cdot\frac{S}{2}=\frac{S}{8};\frac{HD}{CB}=\frac{DE}{EB}=\frac{1}{3}\Rightarrow AH=\frac{2}{3}AD$$
$$S_{AHI}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot S=\frac{1}{3}S.$$ Тогда $$S_{FGI}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot S_{AHI}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{3}S=\frac{1}{24}S$$
Итого сумма: $$(\frac{S}{8}+\frac{S}{24})\cdot2=\frac{4S}{12}=\frac{4\cdot12^2}{12}=48$$
$$AB^2+AD^2=(12\sqrt{2})^2\Rightarrow AB^2=12^2=S$$
Задание 832
Найдите площадь десятиугольника $$A_1A_2\ldots A_{10}$$, если известно, что $$\vec{A_1A_2} = (0,1)$$, $$\vec{A_1A_3} = (-2, 1)$$, $$\vec{A_1A_4} = (2, -1)$$, $$\vec{A_1A_5} = (-1, -1)$$, $$\vec{A_1A_6} = (-1, -3)$$, $$\vec{A_1A_7} = (2, -3)$$, $$\vec{A_1A_8} = (2, -4)$$, $$\vec{A_1A_9} = (3, -4)$$, $$\vec{A_1A_{10}} = (3, 0).$$
Построим данный многоугольник, где $$A_1(0;0).$$
При этом точка $$A_2(0;1),A_3(-2;1),...,A_{10}(3;0).$$
Получим 16 квадратов 1x1$$\Rightarrow S_{A_1A_2...A_{10}}=16$$