Окружности

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Пусть К - точка каасния АВ и окружности

2) Пусть r - радиус окружности $$BK=KA=r$$ $$\Rightarrow$$ $$BA=2r$$

3) По свойству описанного четырехугольника: $$AB+CD=BC+AD$$ $$\Rightarrow$$

$$2r+CD=2+3=5$$ $$\Rightarrow$$

$$CD=5-2R$$

4) Опустим $$CC_{1}\perp AD$$ $$\Rightarrow$$

$$CC_{1}=AB=2r$$

По теореме Пифагора: $$CC_{1}^{2}+C_{1}D^{2}=CD^{2}$$

$$C_{1}D=AD-BC=3-2=1$$

$$(2r)^{2}+1^{2}=(5-2r)^{2}$$

$$4r^{2}+1=25-20r+4r^{2}$$

$$20r=24$$ $$\Rightarrow$$ $$r=1,2$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) Пусть O-центр окружности , тогда: $$OD\perp AB OE\perp AC$$ (свойство радиуса к касательной)

     2) $$OD=OC=\frac{S}{p}=$$$$\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$$ (формула Герона); $$p=\frac{8+6+4}{2}=9$$; $$OD=\sqrt{\frac{(9-6)(9-8)(9-4)}{9}}=$$$$\sqrt{\frac{3*1*5}{9}}=\sqrt{\frac{5}{3}}$$

     3) $$\cos A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2*AB*AC}=\frac{8^{2}+4^{2}-6^{2}}{2*8*4}=\frac{11}{16}$$ (теорема косинусов)

     4) $$\angle DOE=180-\angle A\Rightarrow$$ $$\cos DOE=-\cos A=-\frac{11}{16}$$

     5)$$\Delta DOE$$: $$DE=\sqrt{DO^{2}+OE^{2}-2DO*OE*\cos DOE}=$$$$\sqrt{\frac{5}{3}+\frac{5}{3}+2\frac{5}{3}*\frac{11}{16}}=$$$$\sqrt{\frac{10}{36}+\frac{110}{16*3}}=$$$$\sqrt{\frac{270}{16*3}}=\sqrt{\frac{90}{16}}=\frac{3\sqrt{10}}{4}$$

1) $$\angle A=180^{\circ}-(\angle B-\angle C)=45^{\circ}$$

2) Пусть $$R$$ - радиус описанной окружности, тогда : $$\frac{BC}{\sin A}=2R$$ $$\Rightarrow$$ $$R=\frac{BC}{\sin A}=\frac{2\sqrt{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=2$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Углы A,B,C - вписанные, потому равны половинам соответствующих дуг, потому отношение углов 6:11:29.

2) Т.к. $$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ},$$ если $$\angle A=6x,$$ то: $$6x+11x+29x=180^{\circ}\to x=5\to \angle A=30^{\circ}.$$

3) Напротив меньшей стороны лежит меньший угол $$\to BC=15.  R=\frac{a}{2\sin{\alpha}}=\frac{BC}{2\sin{A}}=\frac{15}{2\cdot \frac{1}{2}}=15$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) $$OB\perp AB$$ и $$OC\perp CA$$ (свойство радиусов в точку касания), ОА - общая, $$AC=AB$$ по условию $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup OBA=\bigtriangleup OAC$$

2) $$\bigtriangleup ABH=\bigtriangleup AHC$$ (АH - общая; $$\angle BAH=\angle HAC$$; $$AB=AC$$) $$\Rightarrow$$ $$BH=HC$$ и $$BC\perp OA$$ $$\Rightarrow$$ $$BH=HC=0,5BC=14,4\cdot0,5=7,2$$

3) По теореме Пифагора $$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{12^{2}-7,2^{2}}=\sqrt{92,16}=9,6$$

4) из $$\bigtriangleup BHA\sim \bigtriangleup BOA$$: $$\frac{HA}{AB}=\frac{BH}{OB}$$ $$\Rightarrow$$ $$OB=\frac{AB\cdot BH}{HA}=\frac{12\cdot7,2}{9,6}=9$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) $$AB=AH+HB=66$$$$\Rightarrow$$ $$OA=OB=33$$(радиусы)

     2) $$OH=OB-HB=33-11=22$$

     3) из $$\Delta OHM$$: $$OM=OH*\sin OHM$$; $$OM=22*\frac{1}{2}=11$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Треугольник OCD - равнобедренный (OC=OD - Радиусы). Треугольник OCA равен треугольнику OAD (оба прямоугольные по свойству касательной и радуиса в точку касания, AC=AD по свойству касательной, OA - общая). Тогда углы COA и DOA равны, тогда треугольники COH и OHD равны. Тогда $$CH=\frac{1}{2}CB=15$$; $$OH=\sqrt{OC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=8$$;

2) Пусть $$CA=x$$,$$HA=y$$, тогда по теореме Пифагора и по формуле высоты прямоугольного треугольника как произведение катетов деленное на гипотенузу:

$$\left\{\begin{matrix}CA^{2}+CO^{2}=OA^{2}\\CH=\frac{OC\cdot CA}{OA}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+17^{2}=(8+y)^{2}\\15=\frac{17\cdot x}{8+y}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$120+15y=17\cdot x$$; $$y=\frac{17x-120}{15}$$; $$x^{2}+289=(8+\frac{17x-120}{15})^{2}$$; $$x^{2}+289=\frac{289x^{2}}{225}$$; $$225x^{2}+289\cdot225=289x^{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$64x^{2}=289\cdot225$$;$$x=\frac{17\cdot15}{8}=31,875$$; $$y=28,125=28\frac{1}{8}$$