Треугольники
Задание 3309
В остроугольном треугольнике $$ABC$$ на высоте $$AD$$ взята точка $$M$$, а на высоте $$BP$$ – точка $$N$$ так, что углы $$BMC$$ и $$ANC$$ – прямые. Расстояние между точками $$M$$ и $$N$$ равно $$4+2\sqrt{3}$$, $$\angle MCN = 30^{\circ}$$. Найдите биссектрису $$CL$$ треугольника $$CMN$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$\angle APB=\angle ADB=90$$ ,т.к. опирается на AB, то $$A_{1},B_{1},D_{1},P_{1}$$ лежат на одной окружности .
2) $$\angle PDA =\angle PBA$$ (вписаные , на одну дугу)
$$\angle A=90-\angle PBA(\Delta PBA)$$
$$\angle PDC=90-\angle PDA(\Delta ADC)$$
Тогда $$\angle A=\angle PDC$$, и т.к. $$\angle C$$ - общий , то $$\Delta ABC\sim \Delta PDC\Rightarrow$$ $$\frac{CB}{CP}=\frac{AC}{CD}\Leftrightarrow$$ $$AC*CP=BC*CD(1)$$
3) из $$\Delta ACN :CN^{2}=AC*CP$$
Из $$\Delta CMB: CM^{2}=BC*CD$$
С учетом (1): $$CN^{2}=CM^{2}\Rightarrow$$ $$CN=CM$$ и $$\Delta CMP$$ равнобедренный
4) Пусть CH- биссектриса , она и медиана и высота . $$NH=\frac{1}{2} NM=2+\sqrt{3}$$
$$\angle HCN=\frac{1}{2}\angle MCN=15$$
Из $$\Delta CHN \frac{HN}{HC}=tg \angle HCN\Rightarrow$$ $$HC=\frac{2+\sqrt{3}}{tg 15}$$
$$tg 15=\frac{\sin 30}{1+\cos 30}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$$
$$HC=(2+\sqrt{3})^{2}=7+4\sqrt{3}$$
Задание 3861
В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ проведена биссектриса $$BE$$, а на гипотенузе $$BC$$ взята точка $$M$$ так, что $$EM \perp BE$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если $$CM=1$$, $$CE=2$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1103
В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ с прямым углом $$B$$, проведена биссектриса угла $$A$$. Известно, что она пересекает серединный перпендикуляр, проведённый к стороне $$BC$$, в точке $$K$$. Найдите градусную меру угла $$BCK$$, если известно, что угол $$ACB$$ равен $$40^{\circ}$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4074
В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ точки $$D$$ и $$E$$ лежат соответственно на катетах $$BC$$ и $$AC$$ так, что $$CD=CE=1$$. Точка $$M$$ - точка пересечения отрезков $$AD$$ и $$BE$$. Площадь треугольника $$BMD$$ больше площади треугольника $$AME$$ на $$\frac{1}{2}$$. Известно, что $$AD=\sqrt{10}$$ . Найдите длину гипотенузы $$AB$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Построим чертеж:
Задание 4189
В равностороннем треугольнике $$ABC$$ высота равна $$\sqrt{3}$$. На стороне $$AB$$ взята точка $$M$$, такая, что $$AM:MB=1:3$$. На стороне $$BC$$ взята точка $$N$$, такая, что $$BN:NC=3:5$$. Найдите площадь четырехугольника $$AMNC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) из $$\bigtriangleup AHB$$: $$\sin A=\frac{BH}{AB}$$ $$\Rightarrow$$
$$AB=\frac{BH}{\sin A}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$$
2) $$MB=\frac{3}{4}AB$$; $$BN=\frac{3}{8}BC$$ $$\Rightarrow$$
$$S_{BMN}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}AB\cdot\frac{3}{8}BC\cdot\sin B=\frac{9}{32}\cdot\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot\sin B=\frac{9}{32}S_{ABC}$$
3) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot\sin B=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$ $$\Rightarrow$$
$$S_{AMNC}=S_{ABC}-S_{BMN}=\frac{23}{32}S_{ABC}=\frac{23}{32}\cdot\sqrt{3}$$
Задание 3474
В треугольнике $$ABC$$ биссектриса $$AD$$ делит сторону $$BC$$ на отрезки $$BD$$ и $$DC$$, причем $$BD:DC=3:2$$. На стороне $$AC$$ выбрана точка $$E$$ такая, что биссектриса $$AD$$ пересекает $$BE$$ в точке $$F$$ и $$BF:FE=5:2$$. Найдите площадь четырехугольника $$FDCE$$, если площадь треугольника $$ABC$$ равна $$70$$ см2 .
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) По т. Менелая из $$\Delta ADC:$$
$$\frac{BF}{FE}*\frac{EA}{AC}*\frac{CD}{BD}=1\Rightarrow$$ $$\frac{EA}{AC}=\frac{2}{5}*\frac{3}{2}=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{AE}{EC}=\frac{3}{2}$$;
2) по т. Менелая $$\Delta BEC$$:
$$\frac{AF}{FD}*\frac{DB}{BC}*\frac{CE}{EA}=1\Rightarrow \frac{AF}{FD}=\frac{5}{3}*\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$$
3) $$S_{ADC}= \frac{DC}{BC}; S_{ABC}=\frac{2}{5}*70=28$$
4) $$\frac{S_{AFE}}{S_{ADC}}=\frac{AF*AE}{AD*AC}=\frac{\frac{5}{7}AD*\frac{3}{5}AC}{AD*AC}=\frac{3}{7}$$, тогда $$S_{FDCE}=\frac{4}{7}*S_{ADC}=\frac{4}{7}*28=16$$
Задание 2951
В треугольнике $$ABC$$ биссектрисы $$AD$$ и $$BE$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите отношение площади четырехугольника $$DOEC$$ к площади треугольника $$ABC$$, если $$AC:AB:BC = 4:3:2$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$AC=4x; AB=3x;BC=2x$$.
2) По свойству биссектрисы $$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{3}{4}\Rightarrow$$ $$BD=\frac{3}{7}BC=\frac{6x}{7}$$; $$DC=\frac{4}{7}BC=\frac{8x}{7}$$. Аналогично, $$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{EC}=\frac{3}{2}\Rightarrow$$ $$AE=\frac{3}{5}AC=\frac{12x}{5}$$; $$EC=\frac{2}{5}AC=\frac{8x}{5}$$
3) Пусть $$EH\left | \right |OD\Rightarrow$$ по т. Фалеса : $$\frac{AE}{EC}=\frac{DH}{HC}=\frac{3}{2}\Rightarrow$$ $$DH=\frac{3}{5} DC=\frac{24x}{35}$$$$\Rightarrow$$ $$BH=\frac{54x}{35}$$
4)Пусть $$S_{ABCD}=S$$ $$\Rightarrow$$ при этом $$S_{BEC}=\frac{EC}{AC}S=\frac{2}{5}S$$; $$S_{BEH}=\frac{BH}{BC}S_{BEC}=$$$$\frac{54}{70}*\frac{2}{5}S=\frac{54S}{175}$$
5) т.к. $$OD\left | \right |EH$$, то $$\frac{S_{OBD}}{S_{BEH}}=(\frac{BD}{BH})^{2}=\frac{25}{81}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{2 S}{3*7}=\frac{2S}{21}\Rightarrow$$ $$S_{DOEC}=S_{BEC}-S_{OBD}=$$$$\frac{2}{5}S-\frac{2S}{21}=\frac{32 S}{105}\Rightarrow$$$$ \frac{S_{DOEC}}{S_{ABC}}=\frac{32}{105}$$
Задание 4393
В треугольнике $$ABC$$ из вершин $$A$$ и $$B$$ проведены отрезки $$AK$$ и $$BE$$, причем точки $$K$$ и $$E$$ лежат на сторонах $$BC$$ и $$AC$$ соответственно. Отрезки $$AK$$ и $$BE$$ пересекаются в точке $$M$$ так, что $$AM:MK = 5$$, $$BM:ME = 2$$. Найдите отношения $$AE:EC$$ и $$BK:KC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 620
В треугольнике $$ABC$$ на его медиане $$BM$$ отмечена точка $$K$$ так, что $$BK:KM=4:1$$. Прямая $$AK$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$P$$. Найдите отношение площади треугольника $$BKP$$ к площади треугольника $$ABC$$.
1) Пусть $$S_{ABC}=S$$. Тогда $$S_{ABM}=S_{BMC}=\frac{S}{2}$$.
2) Пусть $$ML||KP$$. По теореме Фалеса: $$\frac{AM}{MC}=\frac{PL}{LC}=\frac{1}{1}$$; $$\frac{BK}{KM}=\frac{BP}{PL}=\frac{4}{1}$$.
Тогда $$\frac{BP}{BC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$.
3) $$\frac{S_{BKP}}{S_{BMC}}=\frac{BK\cdot BP}{BM\cdot BC}=\frac{4\cdot2}{5\cdot3}=\frac{8}{15}\Rightarrow S_{BKP}=\frac{8}{15}\cdot\frac{S}{2}=\frac{4}{15}S\Rightarrow\frac{S_{BKP}}{S_{ABC}}=\frac{4}{15}$$
Задание 2720
В треугольнике $$ABC$$ на сторонах $$AB$$ и $$AC$$ взяты точки $$M$$ и $$N$$ соответственно так, что $$AM:MB = 3:2$$ и $$AN:NC = 4:5$$. В каком отношении прямая, проходящая через точку $$M$$ параллельно $$BC$$, делит отрезок $$BN$$?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3048
В треугольнике $$ABC$$ площадью $$90$$ см2 биссектриса $$AD$$ делит сторону $$BC$$ на отрезки $$BD$$ и $$CD$$, причём $$BD:CD=2:3$$. Отрезок $$BL$$ пересекает биссектрису $$AD$$ в точке $$E$$ и делит сторону $$AC$$ на отрезки $$AL$$ и $$CL$$ такие, что $$AL:CL=1:2$$. Найдите площадь четырёхугольника $$EDCL$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Пусть $$AL=y\Rightarrow$$ $$LC=2y; AC=3y$$
1) $$S)_{ABC}=90$$; $$\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{BD}{DC}=\frac{2}{3}\Rightarrow$$ $$S_{ABD}=\frac{2}{5}S_{ABC}=36$$. $$S_{ADC}=\frac{3}{5}S_{ABC}=54$$
2) Пусть $$DK\left | \right |EL \Rightarrow$$ по т. Фалеса : $$\frac{CK}{KL}=\frac{CD}{DB}=\frac{3}{2}\Rightarrow$$$$CK=\frac{3}{5}CL=\frac{6}{5}y$$. $$KL=\frac{2}{5}CL=\frac{4}{5}y$$
3) По т. Фалеса для $$\angle DAC$$: $$\frac{AE}{ED}=\frac{AL}{LK}=$$$$\frac{y}{0,8 y}=\frac{5}{4}\Rightarrow$$ $$AE=\frac{5}{9}AD$$
4) $$\frac{S_{AEL}}{S_{ADC}}=\frac{AE*AL}{AD*AC}=\frac{5}{27}\Rightarrow$$ $$S_{DELC}=\frac{22}{27}S_{ADC}=44$$
Задание 3836
В треугольнике $$ABC$$ точка $$D$$ на стороне $$BC$$ и точка $$F$$ на стороне $$AC$$ расположены так, что $$BD:DC=3:2$$, $$AF:FC=3:4$$. Отрезки $$AD$$ и $$BF$$ пересекаются в точке $$P$$. Найдите отношение $$AP:PD$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
ВD:DC=3:2, пусть BD=3x, тогда DC=2x, а BC=5x. AF:FC=3:4, пусть AF=3y, тогда FC=4y. По теореме Менелая для треугольника BFC: $$\frac{AP}{PD}*\frac{BD}{BC}*\frac{CF}{AF}=1\Leftrightarrow$$$$\frac{AP}{PD}*\frac{3x}{5x}*\frac{4y}{3y}=1\Leftrightarrow$$$$\frac{AP}{PD}=\frac{5}{4}$$
Задание 3742
В треугольнике $$ABC$$, площадь которого равна $$S$$, точка $$M$$ середина стороны $$BC$$, точка $$N$$ на продолжении стороны $$AB$$ и точка $$K$$ на продолжении стороны $$AC$$ выбраны так, что $$AN=\frac{1}{2}AB$$, $$CK=\frac{1}{2}AC$$. Найти площадь треугольника $$MNK$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1)$$S_{MCR}=\frac{1}{4}*S$$
2)Пусть $$MR\left | \right |AC\Rightarrow AR=RB$$(RM-средняя линия)$$\Rightarrow AR=0,5*y=NA\Rightarrow AL$$-средняя линия $$\Rightarrow NL=LM\Rightarrow AL=\frac{1}{2}*RM=\frac{1}{4}*AC=\frac{1}{4}x ; LC=\frac{3}{4}x ;$$
3)$$S_{NMK}=S_{MCK}+S_{MCL}+S_{NLK}$$ $$S_{MCL}=\frac{1}{2}*\frac{3}{4}*S=\frac{3}{8}*S\Rightarrow S_{LMK}=\frac{3}{8}*S=\frac{5*S}{8};$$
4)KL-медиана$$\Rightarrow S_{MLK}=S_{KLN}=\frac{5*S}{8};$$
5) $$S_{MNK}=2*\frac{5*S}{8}=\frac{109}{8}=\frac{5S}{4};$$