(C1) Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Вычтем из первого уравнения второе: $$x^{2}+3x+y^{2}-(x^{2}+3x-y^{2})=2-(-6)\Leftrightarrow$$$$2y^{2}=8|:2\Leftrightarrow$$$$y^{2}=4\Leftrightarrow$$$$y=\pm 2$$ Подставим $$y^{2}=4$$ в любое из уравнений (в первое): $$x^{2}+3x+4=2\Leftrightarrow$$$$x^{2}+3x+2=0\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-3\\x_{1}*x_{2}=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=-2\\x_{2}=-1 \end{matrix}\right.$$ Следовательно, в ответе получаем четыре точки: (-2; -2), (-2; 2), (-1; -2), (-1; 2)

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Сложим эти два уравнения: $$x^{2}+y^{2}+10x-2y+26=0$$ $$x^{2}+10x+25+y^{2}-2y+1=0$$ $$(x+5)^{2}+(y-1)^{2}=0$$ Сумма 2х квадратов равна 0 тогда, когда оба равны 0. $$\left\{\begin{matrix}x+5=0\\y-1=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=-5\\y=1\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}+xy+y^{2}=37\\x^{3}-y^{3}=37\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+xy+y^{2}=37\\(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=37\end{matrix}\right.$$ Поделим второе на первое уравнение :$$x-y=1\Leftrightarrow x=1+y$$ $$(1+y)^{2}+(1+y)y+y^{2}=37$$ $$1+2y+y^{2}+y+y^{2}+y^{2}=37$$ $$3y^{2}+3y-36=0|:3$$ $$y^{2}+y-12=0\Leftrightarrow$$ $$D=1+48=49\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}=\frac{-1+7}{2}=3\\y_{2}=\frac{-1-7}{2}=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=1+3=4\\x_{2}=1-4=-3\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}+xy=4y\\y^{2}+xy=4x\end{matrix}\right.$$ $$x^{2}-y^{2}=4y-4x$$ $$(x-y)(x+y)-4(y-x)=0$$ $$(x-y)(x+y)+4(x-y)=0$$ $$(x-y)(x+y+4)=0$$ $$\left\{\begin{matrix}x=y\\x=-4-y\end{matrix}\right.$$ 1) $$x=y$$ $$y^{2}+y\cdot y=4y$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2y^{2}-4y=0$$ $$2y(y-2)=0$$ $$y=0$$ $$\Rightarrow$$ $$x=0$$ $$y=2$$ $$\Rightarrow$$ $$x=2$$ 2) $$x=-4-y$$ $$(-4-y)^{2}+(-4-y)y=4y$$ $$16+8y+y^{2}-4y-y^{2}-4y=0$$ $$16=0$$ $$\Rightarrow$$ нет решений

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\left\{\begin{matrix}x^{3}+xy^{2}=10\\y^{3}+x^{2}y=5\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x(x^{2}+y^{2})=10\\y(y^{2}+x^{2})=5\end{matrix}\right.$$

Поделим первое на второе $$\frac{x}{y}=\frac{10}{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$x=2y$$

Подставим в первое: $$(2y)^{3}+2y\cdot y^{2}=10$$; $$10y^{3}=10$$; $$y^{3}=1$$; $$y=1$$ $$\Rightarrow$$ $$x=2$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\left\{\begin{matrix}xy+x-y=7\\x^{2}y-xy^{2}=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}xy+(x-y)=7\\xy(x-y)=6\end{matrix}\right.$$

     Пусть xy=a; x-y=b.

$$\left\{\begin{matrix}a+b=7\\ab=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a=1\\b=6\end{matrix}\right. (1)\\\left\{\begin{matrix}a=6\\b=1\end{matrix}\right. (2)\end{matrix}\right.$$

     1) $$\left\{\begin{matrix}xy=1\\x-y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}6y+y^{2}=1\\x=6+y\end{matrix}\right.$$

$$y^{2}+6y-1=0$$, $$D=36+4=40\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}y_{1}=\frac{-6+\sqrt{40}}{2}=-3+\sqrt{10}\\y_{2}=\frac{-6-\sqrt{40}}{2}=-3-\sqrt{10}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=3+\sqrt{10}\\x_{2}=3-\sqrt{10}\end{matrix}\right.$$

     2)$$\left\{\begin{matrix}xy=6\\x-y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y+y^{2}-6=0\\x=1+y\end{matrix}\right.$$

$$y^{2}+y-6=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=-1\\y_{1}y_{2}=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}y_{1}=-3\\y_{2}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=-2\\x_{2}=3\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Текстовое решение временно отсутствует. Вы можете найти разбор в видео перед вариантом

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\frac{x}{x-4}-\frac{1}{x+1}=\frac{2-x}{x+1}+\frac{3}{x-4}\Leftrightarrow\frac{x}{x-4}-\frac{3}{x-4}=\frac{2-x}{x+1}+\frac{1}{x+1}\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\frac{x-3}{x-4}=\frac{3-x}{x+1}\Leftrightarrow\frac{x-3}{x-4}-\frac{3-x}{x+1}=0\Rightarrow\frac{x-3}{x-4}+\frac{x-3}{x+1}=0\Rightarrow$$

$$\Rightarrow (x-3)(\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x+1})=0\Rightarrow\left[\begin{matrix} x-3=0\\ \frac{x+1+x-4}{x-4}=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left[\begin{matrix} x=3\\ 2x-3=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} x=3\\ x=1,5 \end{matrix}\right.$$

$$x^{4}=(2x+3)^{2}\Leftrightarrow$$$$(x^{2})^{2}-(2x-3)^{2}=0\Leftrightarrow$$$$(x^{2}-2x+3)(x^{2}+2x-3)=0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$x^{2}-2x+3=0(1)$$ или $$x^{2}+2x-3=0(2)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$(x-2)^{2}(x-3)-12(x-2)=0$$; $$(x-2)((x-2)(x-3)-12)=0$$; $$(x-2)(x^{2}-5x+6-12)=0$$; $$(x-2)(x^{2}-5x-6)=0$$; $$(x-2)(x-6)(x+1)=0$$;

$$\left\{\begin{matrix}x-2=0\\x-6=0\\x+1=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=2\\x=6\\x=-1\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Разложим левую часть уравнения по формуле сокращенного умножения разность кубов: $$((x-2)-(x-3))((x-2)^{2}+(x-2)(x-3)+(x-3)^{2})=37 \Leftrightarrow$$$$(x-2-x+3)(x^{2}-4x+4+x^{2}-5x+6+x^{2}-6x+9)=37 \Leftrightarrow$$$$1*(3x^{2}-15x+19)=37\Leftrightarrow$$$$3x^{2}-15x-18=0 |:3 \Leftrightarrow$$$$x^{2}-5x-6=0$$ Воспользуемся теоремой Виета: $$\left[\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=5\\ x_{1}*x_{2}=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=6\\ x_{2}=-1\end{matrix}\right.$$