Формулы из геометрии

Длина биссектрисы $$l_c$$, проведённой к стороне $$c$$ треугольника со сторонами $$a$$, $$b$$ и $$c$$, вычисляется по формуле $$l_c = \frac{1}{a + b} \sqrt{ab\left((a + b)^2 - c^2\right)}$$. Найдите биссектрису $$l_c$$, если $$a = 4$$, $$b = 8$$, $$c = 6\sqrt{2}$$.

Длина биссектрисы треугольника, проведённой к стороне длиной $$a$$, равна $$l_a = \frac{2bc \cos\frac{\alpha}{2}}{b + c}$$, где $$b$$ и $$c$$ — длины сторон треугольника, $$\alpha$$ — угол, противолежащий стороне длиной $$a$$. Пользуясь этой формулой, найдите $$b$$, если $$\cos\frac{\alpha}{2} = 0,7$$, $$c = 5$$, $$l_a = 2,625$$.

Длина медианы $$m_c$$, проведённой к стороне с треугольника со сторонами $$a$$, $$b$$ и $$c$$, вычисляется по формуле $$m_c = \frac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$$. Найдите медиану $$m_c$$, если $$a = 4$$, $$b = 3\sqrt{2}$$, $$c = 2$$.

Длину окружности $$l$$ можно вычислить по формуле $$l = 2\pi R$$, где $$R$$ — радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус окружности, если её длина равна $$78$$ м. (Считать $$\pi = 3$$.)

Из формулы площади прямоугольника $$S = \frac{d^2 \cdot \sin \varphi}{2}$$, где $$d$$ — длина диагонали, а $$\varphi$$ — угол между диагоналями, выразите и вычислите длину диагонали, если площадь $$S = 9\sqrt{2}$$ и угол $$\varphi = 45^\circ$$.

Из формулы радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, $$r = \frac{ab}{a + b + c}$$, выразите и вычислите катет $$a$$, если катет $$b = 7,2$$, гипотенуза $$c = 7,8$$ и радиус вписанной окружности $$r = 1,2$$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $$V = \frac{1}{3}Sh$$, где $$S$$ — площадь основания пирамиды, $$h$$ — её высота. Объём пирамиды равен $$40$$, площадь основания $$15$$. Чему равна высота пирамиды?

Площадь выпуклого четырёхугольника можно вычислить по формуле $$S = \frac{d_1 d_2 \sin \alpha}{2}$$, где $$d_1$$ и $$d_2$$ — диагонали параллелограмма, $$\alpha$$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали $$d_1$$, если $$d_2 = 4$$, $$\sin \alpha = \frac{1}{2}$$, $$S = 8$$.

Площадь любого выпуклого четырёхугольника можно вычислить по формуле $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha$$, где $$d_1$$, $$d_2$$ — длины его диагоналей, а $$\sin \alpha$$ — угол между ними. Вычислите $$\sin \alpha$$, если $$S = 21$$, $$d_1 = 7$$, $$d_2 = 15$$.

Площадь параллелограмма $$S$$ (в м²) можно вычислить по формуле $$S = ab\sin \alpha$$, где $$a$$ и $$b$$ — стороны параллелограмма (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите площадь параллелограмма (в м²), если его стороны равны $$10$$ м и $$12$$ м, а $$\sin \alpha = 0,5$$.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $$a$$, $$b$$ и $$c$$ можно найти по формуле $$S = 2(ab + ac + bc)$$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $$5$$, $$6$$ и $$20$$.

Площадь прямоугольника можно вычислить по формуле $$S = \frac{d^2 \sin \alpha}{2}$$, где $$d$$ — длина диагонали, $$\alpha$$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $$S$$, если $$d = 4$$ и $$\sin \alpha = \frac{1}{2}$$.

Площадь ромба можно вычислить по формуле $$S = \frac{1}{2}d_1 d_2$$, где $$d_1$$, $$d_2$$ — диагонали ромба. Пользуясь этой формулой, найдите диагональ $$d_1$$, если диагональ $$d_2 = 30$$, а площадь ромба $$180$$.

Площадь трапеции $$S$$ можно вычислить по формуле $$S = \frac{1}{2}(a + b)h$$, где $$a$$, $$b$$ — основания трапеции, $$h$$ — высота. Пользуясь этой формулой, найдите высоту $$h$$, если основания трапеции равны $$5$$ и $$7$$, а её площадь $$24$$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$, где $$a$$ и $$b$$ — длины оснований трапеции, $$h$$ — её высота. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $$S$$, если $$a = 4$$, $$b = 9$$ и $$h = 2$$.