Арифметические и геометрические прогрессии
Задание 1846
Алик, Миша и Вася покупали блокноты и шестирублёвые карандаши. Алик купил $$2$$ блокнота и $$4$$ карандаша, Миша — блокнот и $$6$$ карандашей, Вася — блокнот и $$3$$ карандаша. Оказалось, что суммы, которые уплатили Алик, Миша и Вася, образуют геометрическую прогрессию. Сколько рублей стоит блокнот? Цена блокнота в рублях — рациональное число.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3278
Арифметическая прогрессия задана условием $$a_n = -0,9 + 0,8n$$. Найдите $$a_{10}$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Найдем десятый член (вместо n подставим 10): $$a_{10}=-0,9+0,8*10=$$$$-0,9+8=7,1$$
Задание 2583
Арифметическая прогрессия задана условием $$a_n = 1,9 - 0,3n$$. Найдите сумму первых 15 её членов.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4512
Арифметическая прогрессия задана условиями: $$a_1 = -15$$, $$a_{n+1} = a_n - 10$$. Найдите сумму первых восьми её членов.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
$$a_{1}=-15$$; $$a_{2}=a_{1}-10=-15-10=-25$$; $$d=a_{2}-a_{1}=-25-(-15)=-10$$ $$S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$$ $$S_{7}=\frac{2\cdot(-15)+(-10)\cdot 7}{2}\cdot 8=(-30-70)\cdot4=-400$$
Задание 4947
Арифметическая прогрессия задана условиями: $$a_1 = 6$$, $$a_{n+1} = a_n + 6$$. Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?
1) $$80$$
2) $$56$$
3) $$48$$
4) $$32$$
Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=a_{n+1}-a_{n}=a_{n}+6-a_{n}=6$$. Следовательно, прогрессию можно задать формулой: $$a_{n}=6+6(n-1)$$. Для того, чтобы число являлось членом данной арифметической прогрессии, при подстановке числа вместо $$a_{n}$$ должно решаться уравнение $$a_{n}=6+6(n-1)$$ в натуральных $$n$$: $$80=6+6(n-1)\Leftrightarrow$$$$80=6+6n-6\Leftrightarrow$$$$80=6n|:6\Leftrightarrow$$$$n=\frac{80}{6}$$ - число ненатуральное, следовательно, 80 не является членом данной прогрессии $$56=6+6(n-1)\Leftrightarrow$$$$56=6+6n-6\Leftrightarrow$$$$56=6n|:6\Leftrightarrow$$$$n=\frac{56}{6}$$ - число ненатуральное, следовательно, 56 не является членом данной прогрессии $$48=6+6(n-1)\Leftrightarrow$$$$48=6+6n-6\Leftrightarrow$$$$48=6n|:6\Leftrightarrow$$$$n=8$$ - число натуральное, следовательно, 48 не является членом данной прогрессии $$32=6+6(n-1)\Leftrightarrow$$$$32=6+6n-6\Leftrightarrow$$$$32=6n|:6\Leftrightarrow$$$$n=\frac{32}{6}$$ - число ненатуральное, следовательно, 32 не является членом данной прогрессии
Задание 4950
Арифметические прогрессии $$(x_n)$$, $$(y_n)$$ и $$(z_n)$$ заданы формулами: $$x_n = 2n + 4$$, $$y_n = 4n$$, $$z_n = 4n + 2$$. Укажите те из них, у которых разность $$d$$ равна $$4$$:
1) $$(x_n)$$ и $$(y_n)$$
2) $$(y_n)$$ и $$(z_n)$$
3) $$(x_n)$$, $$(y_n)$$ и $$(z_n)$$
4) $$(x_n)$$
Найдем разность арифметической прогрессии для каждой из данных: $$x_{n+1}=2(n+1)+4=2n+6$$, тогда $$d=x_{n+1}-x_{n}=2n+6-(2n+4)=2$$ $$y_{n+1}=4(n+1)=4n+4$$, тогда $$d=y_{n+1}-y_{n}=4n+4-4n=4$$ $$z_{n+1}=4(n+1)+2=4n+6$$, тогда $$d=z_{n+1}-z_{n}=4n+6-(4n+2)=4$$ Как видим, подошли вторая и третья, следовательно, правильный ответ под номером 2.
Задание 629
Бизнесмен Печенов получил в $$2000$$ году прибыль в размере $$1000$$ млн руб. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на $$10\%$$ по сравнению с предыдущим годом. Сколько млн рублей заработал Печенов за $$2003$$ год?
Прибыль каждый год увеличивалась на 10%, т.е. становилась равна 110% от прошлого года = 1,1.
Прибыль за 2000 год = 1000 млн рублей.
Прибыль за 2001 год:
$$1000\cdot1,1 = 1100$$ млн рублей
Прибыль за 2002 год:
$$1100\cdot1,1 = 1210$$ млн рублей
Прибыль за 2003 год:
$$1210\cdot1,1 = 1331$$ млн рублей
Задание 647
Бригада маляров красит забор длиной $$270$$ метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила $$90$$ метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Эта задача решается просто, учитывая, что сумма любой пары дней, отстоящих по счёту на одинаковое расстояние от начала и конца, одинакова, получаем:
$$\frac{270}{90}$$ = 3 пары дней, или 6 дней.
Задание 1892
В $$11:00$$ часы сломались и за каждый следующий час отставали на одно и то же количество минут по сравнению с предыдущим часом. В $$21:00$$ того же дня часы отставали на $$20$$ минут. На сколько минут отставали часы спустя $$24$$ часа после того, как они сломались?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 681
В амфитеатре $$12$$ рядов. В первом ряду $$20$$ мест, а в каждом следующем на $$2$$ места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Воспользуемся формулой арифметической прогрессии.
$$a_1=20$$ мест, $$d = 2$$ места.
$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n=\frac{2\cdot20+2(12-1)}{2}\cdot12=372$$
Задание 1417
В амфитеатре $$14$$ рядов. В первом ряду $$20$$ мест, а в каждом следующем — на $$3$$ места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1459
В амфитеатре $$16$$ рядов. В первом ряду $$54$$ места, а в каждом следующем — на $$2$$ места меньше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4969
В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна $$75$$, а сумма второго и третьего членов равна $$150$$. Найдите первые три члена этой прогрессии. В ответе перечислите через точку с запятой первый, второй и третий члены прогрессии.
Второй член можно записать как : $$b_{2}=b_{1}*q$$. Третий можно записать как: $$b_{3}=b_{1}*q^{2}$$, тогда: $$\left\{\begin{matrix}b_{1}+b_{1}*q=75\\ b_{1}*q+b_{1}*q^{2}=150\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}b_{1}(1+q)=75\\ b_{1}*q(1+q)=150\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\frac{b_{1}*q(1+q)}{b_{1}(1+q)} =\frac{150}{75}=2$$. Тогда $$b_{1}=\frac{75}{q+1}=\frac{75}{2+1}=25$$, $$b_{2}=b_{1}*q=25*2=50 ; b_{3}=b_{2}*q=50*2=100$$