Треугольники и их элементы
Задание 2555
В остроугольном треугольнике $$ABC$$ точки $$A$$, $$C$$, центр описанной окружности $$O$$ и центр вписанной окружности $$I$$ лежат на одной окружности. Докажите, что угол $$ABC$$ равен $$60^{\circ}$$ .
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1776
В остроугольном треугольнике $$ABC$$ угол $$B$$ равен $$60^{\circ}$$. Докажите, что точки $$A$$, $$C$$, центр описанной окружности треугольника $$ABC$$ и точка пересечения высот треугольника $$ABC$$ лежат на одной окружности.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3264
В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ из концов основания $$AC$$ проведены прямые, которые составляют с основанием равные углы и пересекаются в точке $$M$$. Докажите равенство треугольников $$ABM$$ и $$BCM$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Есть два случая расположения точки M:
1) $$\angle CAM =ACM \Rightarrow$$ $$\Delta ACM$$ –равнобедренный , тогда AM=MC
2) Треугольник ABC - ранвобедренный, следовательно, AB=BC.
3) BM - общая, следовательно, треугольники равны по трем сторонам.
Задание 3164
В треугольнике $$ABC$$ проведена биссектриса $$AM$$. Докажите, что если $$AB+BM=AC+CM$$, то треугольник $$ABC$$ – равнобедренный
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$MK\perp AB$$; $$MH\perp AC$$, тогда $$\Delta AKM=\Delta AMH$$ ( по гипотенузе и острому углу) $$\Rightarrow$$ $$KM=MH$$$$\Rightarrow$$ $$BM^{2}-BL^{2}=CM^{2}-CH^{2}$$$$\Leftrightarrow$$ $$(BM-BK)(BM+BK)=(CM-CH)(CM+CH)(1)$$
2) Т.к. $$AB+BM=AC+CM(2)$$ и $$AK=AH$$, то $$BK+BM=CH+CM$$$$\Rightarrow$$ с учетом (1): $$BM-BK=CM-CH|-AH$$$$\Leftrightarrow$$ $$BM-AB=CM-AC(3)$$
3)Вычтем (2) из (3): $$2AB=2AC$$$$\Rightarrow$$ $$AB=AC$$$$\Rightarrow$$ $$\Delta ABC$$ –равнобедренный.
Задание 2636
В треугольнике $$ABC$$ проведены высоты $$AA_{1}$$, $$BB_{1}$$, $$CC_{1}$$. Точки $$B_{2}$$ и $$C_{2}$$ – середины высот $$BB_{1}$$ и $$CC_{1}$$ соответственно. Докажите, что треугольник $$A_{1}B_{2}C_{2}$$ подобен треугольнику $$ABC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3000
В треугольнике $$ABC$$ прямая, проходящая через вершину $$A$$, делит медиану $$BM$$ пополам. Докажите, что эта прямая делит сторону $$BC$$ в отношении $$1:2$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Построим $$MK\left | \right |AM$$. По т. Фалеса : $$\frac{CM}{MA}=\frac{CK}{KM}\Rightarrow$$ $$\frac{CK}{KM}=\frac{1}{1}\Rightarrow$$ $$CK=KM$$
2) Аналогично : $$\frac{BH}{HM}=\frac{BM}{MK}=\frac{1}{1}\Rightarrow$$ $$CK=KM=MB\Rightarrow$$ $$CM:MB=2:1$$
Задание 656
В треугольнике $$ABC$$ с тупым углом $$ACB$$ проведены высоты $$AA_{1}$$ и $$BB_{1}$$. Докажите, что треугольники $$A_{1}CB_{1}$$ и $$ACB$$ подобны.
$$∆AA_1C\sim ∆BB_1C$$ (по трем углам)
Пусть коэффициент подобия $$k$$
$$CB_1=c, A_1C = kc$$
$$BB_1 = b, AA_1 = kb$$
$$CB = a, CA = ka$$
В $$∆A_1CB_1$$ и $$∆ACB$$ две стороны подобны и углы между ними равны ⇒
$$∆A_1CB_1\sim ∆ACB$$
Задание 3932
В треугольнике $$ABC$$ угол $$ACB$$ тупой, $$BO\perp AC$$, $$OF\perp AB$$, $$OD\perp BC$$. Докажите, что $$\angle ACB=\angle DFB$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Пусть $$\angle A=\alpha$$; $$\angle B=\beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle ACB=180-\angle\alpha-\angle\beta$$
1) $$\angle BCO=180-\angle C=\alpha+\beta$$ $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup OCB$$: $$\angle CBO=90^{\circ}-\angle BCO=90^{\circ}-\alpha-\beta$$
2) $$\bigtriangleup ODN\sim\bigtriangleup FNB$$ (прямоугольные); $$\angle DNO=\angle FNB$$ (как вертикал.); $$\Rightarrow$$ $$\frac{ON}{NB}=\frac{DN}{FN}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{ON}{DN}=\frac{NB}{NF}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle DFN=\angle NBO=90^{\circ}-\alpha-\beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle DFB=90^{\circ}+90^{\circ}-\alpha-\beta=180^{\circ}-\alpha-\beta=\angle ACB$$
ч.т.д.
Задание 2830
В треугольнике $$ABC$$ угол $$B$$ равен $$60^{\circ}$$, биссектрисы $$AD$$ и $$CE$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что $$OD=OE$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2414
Высоты $$BB_{1}$$ и $$CC_{1}$$ остроугольного треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$E$$. Докажите, что углы $$BB_{1}C_{1}$$ и $$BCC_{1}$$равны.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3091
Дан равнобедренный треугольник $$ABC$$ с основанием $$AC$$. Вписанная в него окружность с центром $$O$$ касается боковой стороны $$BC$$ в точке $$P$$ и пересекает биссектрису угла $$B$$ в точке $$M$$. Докажите, что отрезки $$MP$$ и $$OC$$ параллельны.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$\angle PCO=x$$, тогда $$\angle POC=90-x$$ ($$OP\perp BC$$ как радиус в точку касания )
2) $$\Delta OHC=\Delta OPC$$$$\Rightarrow$$ $$\angle OCH=x$$$$\Rightarrow$$ $$\angle HBC=90-2x$$$$\Rightarrow$$ из $$\Delta OBP$$: $$\angle BOP=2x$$
3) из $$\Delta MOP$$ ($$MO=OP$$ - радиусы): $$\angle OMP=\angle MPO=\frac{180-2x}{2}=90-x=\angle POC$$$$\Rightarrow$$ накрест лежащие углы равны и $$MP\left | \right |OC$$