Треугольники
Задание 2637
$$AA_{1}$$ – медиана треугольника $$ABC$$. Точка $$C_{1}$$ лежит на стороне $$AB$$, причём $$AC_{1}:C_{1}BB=1:2$$. Отрезки $$AA_{1}$$ и $$CC_{1}$$ пересекаются в точке $$M$$. Найдите отношение $$CM:MC_{1}$$
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4543
$$ABC$$ – равнобедренный треугольник с основанием $$AC$$, $$CD$$ – биссектриса угла $$C$$, $$\angle ADC=150^{\circ}$$. Найдите $$\angle B$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
|
1) Пусть $$\angle A=\angle C=x$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle ACD=\frac{x}{2}$$ (CD-биссектриса) 2) $$x+\frac{x}{2}+150=180^{\circ}$$ (из $$\bigtriangleup ADC$$) $$1,5x=30$$ $$\Rightarrow$$ $$x=20^{\circ}$$ 3) $$\angle B=180^{\circ}-2x=180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}$$ |
 |
Задание 3092
Биссектриса $$AD$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ делит его на треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ площадью $$4$$ см2 и $$2$$ см2 соответственно. Найдите стороны треугольника $$ABC$$, если $$AC$$ – его основание.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Т.к. $$\Delta ABD$$ и $$\Delta ADC$$ имеют общую вершину A , то : $$\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{BD}{DC}=\frac{4}{2}=\frac{2}{1}$$. Пусть $$BD=2x$$, тогда $$DC=x$$ и $$AB=BC=3x$$
2) По свойству биссектрисы: $$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{1}$$, тогда $$AC=\frac{AB}{2}=1,5 x$$
3) $$S_{ABC}=4+2=6$$, По формуле Герона : $$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{15x}{4}$$; $$6=\sqrt{(\frac{15x}{4}-3x)^{2}*(\frac{15x}{4}-\frac{3x}{2})*\frac{15x}{4}}$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{9x^{2}}{16}\sqrt{15}=6$$$$\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{4\sqrt{6}}{3\sqrt[4]{15}}$$. Тогда $$AB=BC=\frac{4\sqrt{16}}{\sqrt[4]{15}}$$ и $$AC=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt[4]{15}}$$
Задание 4213
В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ из вершины прямого угла $$B$$ проведены медиана $$BE$$ и высота $$BK$$. Найдите длину гипотенузы $$AC$$, если $$KE=1$$, $$\angle BAK=60^{\circ}$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2445
В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ известны катеты: $$AC=6$$, $$BC=8$$ . Найдите медиану $$CK$$ этого треугольника.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3335
В прямоугольном треугольнике, периметр которого равен $$36$$ см, вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания в отношении $$2:3$$. Найдите длину гипотенузы.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$\frac{AH}{HB}=\frac{2}{3}$$, тогда AH=2x; HB=3x
2) По свойству касательных MB=HB=3x, NA=AH=2x
3) Пусть ON=OH=OM=y, но NC=CM=y. Тогда по т. Пифагора :$$(y+2x)^{2}+(y+3x)^{2}=(5x)^{2}(1)$$
4) т.к. P=36, то $$y+2x+y+3x+5x=36$$, $$2y=36-10x\Leftrightarrow y=18-5x$$
Подставим в (1)
$$(18-5x+2x)^{2}+(18-5x+3x)^{2}=25x^{2}$$
$$324-108x+9x^{2}+324-72x+4x^{2}=25x^{2}$$
$$12x^{2}+180x-648=0$$
$$x^{2}+15x-54=0$$
$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-15\\x_{1}*x_{2}=-54\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=3\\x_{2}=-18\end{matrix}\right.$$
-18 не может быть, так как длина - число положительное, следовательно, $$5x=5*3=15$$ - длина гипотенузы
Задание 2682
В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ основание $$AC$$ равно $$6$$ см, а высота опущенная на основание равна $$4$$ см. Найдите периметр треугольника $$CHB$$, где $$CH$$ – высота, опущенная на боковую сторону.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4259
В равнобедренном треугольнике с основанием $$AC$$ и боковой стороной $$AB$$ проведена высота $$AD$$ делящая боковую сторону $$BC$$ в отношении $$BD:DC=7:1$$. Найдите $$AB$$ если $$AC=4$$ см.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2881
В равнобедренном треугольнике с углом $$45^{\circ}$$ при основании вписан квадрат так, что одна из его сторон лежит на основании треугольника. Найдите площадь квадрата, если площадь треугольника равна $$18$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2831
В треугольник вписана окружность с радиусом $$4$$. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых $$6$$ и $$8$$. Найдите дины сторон треугольника.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4191
В треугольнике $$ABC$$ $$AB=BC= 4$$ см. $$AE=3$$ см – медиана треугольника. Найдите $$AC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) из $$\bigtriangleup ABE$$:
$$\cos B=\frac{AB^{2}+BE^{2}-AE^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{4^{2}+2^{2}-3^{2}}{2\cdot4\cdot2}=\frac{16+4-9}{16}=\frac{11}{16}$$
2) из $$\bigtriangleup ABC$$:
$$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cdot\cos B}=\sqrt{4^{2}+4^{2}-2\cdot4\cdot4\cdot\frac{11}{16}}=\sqrt{32-22}=\sqrt{10}$$
Задание 4114
В треугольнике $$ABC$$ $$AC=AB$$, медианы $$AM$$ и $$BF$$ пересекаются в точке $$O$$, $$AM:BF=8:5$$. Найдите $$BF$$, если площадь треугольника $$AOF$$ равна $$24$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$S_{ABC}=S$$, тогда $$S=2\cdot\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AM\sin\alpha=AC\cdot AM\sin\alpha$$; $$S_{AFO}=\frac{1}{2}\cdot AF\cdot AO\sin\alpha=$$ $$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}AC\cdot\frac{2}{3}AM\sin\alpha=\frac{1}{6}AC\cdot AM\sin\alpha=24$$ $$\Rightarrow$$ $$AC\cdot AM\sin\alpha=144=S$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}AM\cdot CB=144$$
2) Пусть $$AM=8x$$ $$\Rightarrow$$ $$BF=5x$$, по свойству медиан: $$OB=\frac{2}{3}BF=\frac{10x}{3}$$; $$OM=\frac{1}{3}AM=\frac{8x}{3}$$; $$MB=\sqrt{OB^{2}-OM^{2}}=\sqrt{(\frac{10x}{3})^{2}-(\frac{8x}{3})^{2}}=\frac{6x}{3}=2x$$ $$\Rightarrow$$ $$CB=4x$$
3) $$\frac{1}{2}AM\cdot CB=144$$; $$\frac{1}{2}\cdot8x\cdot4x=144$$; $$32x^{2}=288$$; $$x^{2}=9$$ $$x=3$$
4) $$BF=5x=5\cdot3=15$$
Задание 4415
В треугольнике $$ABC$$ высота $$BD=11,2$$ см, а высота $$AE=12$$ см. Точка $$E$$ делит сторону $$BC$$ в отношении $$5:9$$, считая от вершины $$B$$. Найти длину стороны $$AC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Текстовое решение временно отсутствует. Вы можете найти разбор в видео перед вариантом
Задание 2764
В треугольнике $$ABC$$ медианы $$CD$$ и $$BE$$ пересекаются в точке $$K$$. Найдите площадь четырёхугольника $$ADKE$$, если $$BC=20$$, $$AC=12$$, $$\angle ACB=135^{\circ}$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3116
В треугольнике $$ABC$$ на стороне $$AC$$ как на диаметре построена окружность, которая пересекает сторону $$AB$$ в точке $$M$$, а сторону $$BC$$ – в точке $$N$$. Известно, что $$AC=2$$, $$AB=3$$, $$AM:MB=2:3$$. Найдите $$AN$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$AM :MB= 2: 3$$, $$AB=3$$$$\Rightarrow$$ $$AM=1,2$$, $$MB=1,8$$
2) $$\Delta AMC$$: $$MC=\sqrt{AC^{2}-AM^{2}}=1,6$$
3) $$\Delta MBC$$: $$BC=\sqrt{MB^{2}+MC^{2}}=\sqrt{5,8}$$
4) $$\Delta ABN\sim \Delta CMB$$ (оба прямоугольные ,$$\angle B$$ - общий )$$\Rightarrow$$ $$\frac{AN}{MC}=\frac{AB}{BC}$$$$\Rightarrow$$ $$AN=\frac{1,6*3}{\sqrt{5,8}}=\frac{4,8}{\sqrt{5,8}}$$