Разные задачи
Задание 3451
Известно, что графики функций $$y = x^2 + p$$ и $$y = 4x - 3$$ имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
- Так как графики имеют одну точку пересечения, то уравнение : $$x^{2}-p=4x-3$$ должно иметь один корень, то есть дискриминант равен 0:
- $$x^{2}-4x+p+3=0$$ $$D=16-4(p+3)=16-4p+12=4-4p=0$$
- Тогда $$p=1$$.
- Найдем абсциссу точки пересечения: $$x_{0}=-\frac{-4}{2}=2$$.
- Найдем ординату (подставим в линейное уравнение): $$y=4*2-3=5$$. То есть точка пересечения будет с координатами (2;5).
- Построим графики функций:
Задание 4276
Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых уравнение $$|3x + 2| + |3x - 2| = ax + 4$$ имеет ровно два решения.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1213
Найдите наибольшее значение выражения $$\frac{x^3 - y}{x^2 + 1} - \frac{x^2y - x}{x^2 + 1}$$, если $$x$$ и $$y$$ связаны соотношением $$y = x^2 + x - 4$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 848
Первая прямая проходит через точки $$\left(0;\,\frac{9}{2}\right)$$ и $$(3;\,6)$$. Вторая прямая проходит через точки $$(1;\,2)$$ и $$(-4;\,7)$$. Найдите координаты общей точки этих двух прямых.
Уравнение первой прямой
$$\frac{x}{3}=\frac{y-4,5}{1,5}$$
$$1,5x-3y+13,5=0 $$
Уравнение второй прямой
$$\frac{x-1}{-5}=\frac{y-2}{5}$$
$$5x+5y-15=0$$
$$\left\{\begin{matrix} 3y-1,5x=13,5\\ x+y=3 \end{matrix}\right.$$
$$x=3-y$$
$$3y-1,5(3-y)=13,5$$
$$3y-4,5+1,5y=13,5$$
$$4,5y=18$$
$$y=4$$
$$x=-1$$
$$(-1;4)$$
Задание 4031
Постройте график функции $$y = \frac{(\sqrt{x^2 - 5x + 6})^2}{x - 3}$$ и найдите все значения $$a$$, при которых прямая $$y = a$$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3795
Постройте график функции $$y = \frac{(x - 4)(x^2 - 4)}{x^2 - 6x + 8}$$ и определите, при каких значениях $$k$$ построенный график не будет иметь общих точек с прямой $$y = kx$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Найдем область определения заданной функции: $$x^{2}-6x+8 \neq 0 \Leftrightarrow $$$$x_{1} \neq 2 ; 4$$
Преобразуем данную функцию с учетом полученной области определения: $$\frac{(x-4)(x^{2}-4)}{x^{2}-6x+8}=$$$$\frac{(x-4)(x-2)(x+2)}{(x-4)(x-2)}=x+2$$. То есть график функции $$y=x+2$$ совпадает с графиком начальной функции при наличии области ее определения.
Получаем, что точки (2;4) и (4;6) пустые, следовательно, чтобы прямая y=kx не имела с графиком пересечений, она должна пройти через эти точки. Подставим их координаты в уравнение прямой, чтобы найти k:
$$4=2k \Leftrightarrow$$$$k=2$$
$$6=4k \Leftrightarrow$$$$k=1,5$$
Так же прямая не будет иметь пересечений, если она будет параллельна графику начальной функции. Две прямые $$y_{1}=k_{1}x+b_{1}$$ и $$y_{2}=k_{2}x+b_{2}$$ параллельны в том случае, если коэффициенты при х у них одинаковы ($$k_{1}=k_{2}$$, а свободные - разные ($$b_{1} \neq b_{2}$$). То есть k=1 тоже будет ответом.
Задание 125
Постройте график функции $$y = \frac{(x+1)(x^2-4)}{x^2-x-2}$$
Определите, при каких значениях $$k$$ прямая $$y=kx$$ не имеет с графиком общих точек.
Разложим знаменатель на множители: $$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$$. Учтем, что $$x^2 - 4 = (x - 2)( x+ 2)$$
$$y = \frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)} = x + 2$$ при $$x \neq -1; 2$$, так как знаменатель не может равнять нулю.
То есть графиком функции будет прямая $$y = x + 2$$, с учетом, что $$x \neq -1; y \neq -1+2 =1$$ и $$x \neq 2; y \neq 2 + 2 = 4$$
Пустые точки на графике: $$(-1; 1)$$, $$(2; 4)$$. На рисунке итоговая прямая выделена черным цветом.
Прямая $$y = kx$$ не имеет общих точек при:
Проходит через $$(-1; 1)$$ - выделена красным цветом. Подставим координаты данной точки в уравнение прямой: $$1 = k \cdot (-1) \Leftrightarrow k = -1$$
Проходит через $$(2; 4)$$ - выделена синим цветом. Подставим координаты данной точки в уравнение прямой: $$4 = k \cdot 2 \Leftrightarrow k = 2$$
Задание 1643
Постройте график функции $$y = \frac{1}{2} \left( \left| \frac{x}{4} - \frac{4}{x} \right| + \frac{x}{4} + \frac{4}{x} \right)$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком одну общую точку.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2638
Постройте график функции $$y = \frac{x - 3}{(\sqrt{x^2 - 9})^2} + 4$$. Найдите все значения $$k$$, при которых прямая $$y = kx$$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3477
Постройте график функции $$y = \frac{x^2 - 25}{x^2 - 5x}$$ и определите, при каких значениях $$a$$ прямая $$y = a$$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
$$y=\frac{x^{2}-25}{x^{2}-5x}$$
ОДЗ: $$x^{2}-5x\neq 0 \Leftrightarrow x(x-5)=0\Leftrightarrow$$$$ x\neq 0; x\neq 5\Rightarrow x\in (-\infty; 0)\cup(5 ;+\infty ).$$
Упростим выражение: $$\frac{x^{2}-25}{x^{2}-5x}=\frac{(x-5)*(x+5)}{x(x-5)}=\frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}$$ Т.е. график $$y=1+\frac{5}{x}$$ такой же, как $$y=\frac{x^{2}-25}{x^{2}-5x}$$ при условии ОДЗ:
Прямая $$y=a$$ - это прямая, параллельная оси Ох. Она не будет иметь пересечения с графиком исходной функции при a=2 и a=1.
Задание 1857
Постройте график функции $$y = \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 3x + 2}$$. Определите, при каких значениях $$a$$ прямая $$y = a$$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2929
Постройте график функции $$y = |2|x| - 6|$$ и найдите все значения $$a$$, при которых прямая $$y = a$$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Раскроем внутренний модель : $$\left\{\begin{matrix}y=\left | 2x-6 \right |,x>0(1)\\y=\left | -2x-6 \right |, x<0 (2)\end{matrix}\right.$$
1) Если $$2x-6\geq 0$$ (или $$x\geq 3$$), то $$y=2x-6$$ ,если $$x<3$$, то $$y=-2x+6$$
2) Если $$-2x-6\geq 0\Leftrightarrow$$ $$x\leq -3$$, то $$y=-2x-6$$, если $$x\geq -3$$, то $$y=2x+6$$
Тогда получим следующую совокупность :
$$\left[\begin{matrix}\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq 3 & & \\y=2x-6 & &\end{matrix}\right. & & \\\left\{\begin{matrix}0\leq x<3 & & \\y=-2x+6& &\end{matrix}\right.& &\end{matrix}\right. & & \\\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\leq -3 & & \\y=-2x-6& &\end{matrix}\right. & & \\\left\{\begin{matrix}-3<x<0 & & \\y=2x+6& &\end{matrix}\right. & &\end{matrix}\right.& &\end{matrix}\right.$$
Прямая y=a имеет с графиком 3 общие точки при a=6