(C3) Функции и их свойства. Графики функций
Задание 1170
Постройте график функции $$y = \frac{(x + 3)(x^2 - 3x + 2)}{x - 2}$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2039
Постройте график функции $$y = \frac{(x^2 - 4x + 3)(x^2 - x - 2)}{x^2 - 2x - 3}$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Учтем область определения функции D(x): $$x^{2}-2x-3\neq 0\Leftrightarrow$$$$x\neq -1;3$$
Разложим числитель на множители:
Тогда с учетом D(x): $$y=\frac{(x^{2}-4x+3)(x^{2}-x-2)}{x^{2}-2x-3}=$$$$\frac{(x-3)(x-1)(x-2)(x+1)}{(x+1)(x-3)}=$$$$(x-1)(x-2)$$
Построим график функции:
Прямая y=m - параллельна оси оХ. Будет иметь одну точку пересечения в следующих случаях: -0,25;2;6
Задание 3864
Постройте график функции $$y = \frac{(x^2 + 6{,}25)(x - 1)}{1 - x}$$ и определите, при каких значениях $$k$$ прямая $$y = kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 125
Постройте график функции $$y = \frac{(x+1)(x^2-4)}{x^2-x-2}$$
Определите, при каких значениях $$k$$ прямая $$y=kx$$ не имеет с графиком общих точек.
Разложим знаменатель на множители: $$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$$. Учтем, что $$x^2 - 4 = (x - 2)( x+ 2)$$
$$y = \frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)} = x + 2$$ при $$x \neq -1; 2$$, так как знаменатель не может равнять нулю.
То есть графиком функции будет прямая $$y = x + 2$$, с учетом, что $$x \neq -1; y \neq -1+2 =1$$ и $$x \neq 2; y \neq 2 + 2 = 4$$
Пустые точки на графике: $$(-1; 1)$$, $$(2; 4)$$. На рисунке итоговая прямая выделена черным цветом.
Прямая $$y = kx$$ не имеет общих точек при:
Проходит через $$(-1; 1)$$ - выделена красным цветом. Подставим координаты данной точки в уравнение прямой: $$1 = k \cdot (-1) \Leftrightarrow k = -1$$
Проходит через $$(2; 4)$$ - выделена синим цветом. Подставим координаты данной точки в уравнение прямой: $$4 = k \cdot 2 \Leftrightarrow k = 2$$
Задание 1643
Постройте график функции $$y = \frac{1}{2} \left( \left| \frac{x}{4} - \frac{4}{x} \right| + \frac{x}{4} + \frac{4}{x} \right)$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком одну общую точку.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3166
Постройте график функции $$y = \frac{2|x| - 1}{|x| - 2x^2}$$ и определите, при каких значениях $$k$$ прямая $$y = kx$$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
ОДЗ: $$\left | x \right |-2x^{2}\neq 0\Leftrightarrow$$ $$\left | x \right |-2\left | x \right |^{2} \neq 0\Leftrightarrow$$ $$\left | x \right |(1-2\left | x \right |)\neq 0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\neq 0\\ x\neq 0,5\\ x\neq -0,5\end{matrix}\right.$$.
При $$x>0$$: $$y=\frac{2x-1}{x(1-2x)}=-\frac{1}{x}$$ (выдерена красным)
При $$x<0$$: $$y=\frac{-2x-1}{-x-2x^{2}}=\frac{1}{x}$$(выделена красным)
Итоговый график с учетом ОДЗ:
Найдем k: $$y=kx$$ проходит через (-0,5 ; -2): $$-2=-0,5*k\Rightarrow k=4$$(зеленая) и через (0,5; -2): $$-2=0,5k\Rightarrow k=-4$$(красная). При k=0 (черная) тоже не имеет пересечений
Задание 3144
Постройте график функции $$y = \frac{x - 2}{x^2 - 2x}$$ и определите, при каких значениях $$k$$ прямая $$y = kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Найдем ограничения по x: $$x^{2}-2x\neq 0\Leftrightarrow$$ $$x\neq 0 x\neq 2(1)$$. Тогда $$y=\frac{x-2}{x(x-2)}=\frac{1}{x}$$ с учетом (1) аналогичен искомой функции
Построим график функции:
$$y=kx$$ имеет 1 общую точку если проходит через (2;0,5): $$0,5=2k\Rightarrow$$ $$k=\frac{1}{4}$$
Задание 2638
Постройте график функции $$y = \frac{x - 3}{(\sqrt{x^2 - 9})^2} + 4$$. Найдите все значения $$k$$, при которых прямая $$y = kx$$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3477
Постройте график функции $$y = \frac{x^2 - 25}{x^2 - 5x}$$ и определите, при каких значениях $$a$$ прямая $$y = a$$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
$$y=\frac{x^{2}-25}{x^{2}-5x}$$
ОДЗ: $$x^{2}-5x\neq 0 \Leftrightarrow x(x-5)=0\Leftrightarrow$$$$ x\neq 0; x\neq 5\Rightarrow x\in (-\infty; 0)\cup(5 ;+\infty ).$$
Упростим выражение: $$\frac{x^{2}-25}{x^{2}-5x}=\frac{(x-5)*(x+5)}{x(x-5)}=\frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}$$ Т.е. график $$y=1+\frac{5}{x}$$ такой же, как $$y=\frac{x^{2}-25}{x^{2}-5x}$$ при условии ОДЗ:
Прямая $$y=a$$ - это прямая, параллельная оси Ох. Она не будет иметь пересечения с графиком исходной функции при a=2 и a=1.
Задание 1857
Постройте график функции $$y = \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 3x + 2}$$. Определите, при каких значениях $$a$$ прямая $$y = a$$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2557
Постройте график функции $$y = \frac{x^4 - 13x^2 + 36}{(x - 3)(x + 2)}$$. Найдите все значения $$m$$, при каждом из которых прямая $$y = m$$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3885
Постройте график функции $$y = \left\{ \begin{aligned} 2x - x^2,&\ x \ge 0 \\ -4x - x^2,&\ x < 0 \end{aligned} \right.$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 332
Постройте график функции $$y = \left\{\begin{aligned} -x^2 + 2x + 3,& x \ge -1 \\ -x + 1,& x -1 \end{aligned}\right.$$. Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3406
Постройте график функции $$y = \left\{\begin{aligned} -x^2, & |x| \leq 2 \\ \frac{8}{x}, & |x| > 2 \end{aligned}\right.$$ и определите, при каких значениях $$a$$ прямая $$y = ax$$ будет иметь с графиком единственную общую точку.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Начертим график данной функции $$y=\left\{\begin{matrix} -x^{2}, \left | x \right |\leq 2\\ \frac{8}{x}, \left | x \right |>0\end{matrix}\right.$$
Учтем, что график $$y=-x^{2}$$ при $$x\in [-2;2]$$ (на концах закрашенные точки, так как неравенство нестрогое), на остальной части область определения $$y=\frac{8}{x}$$.
$$y=a$$ - прямая, параллельная оси Ox, тогда одну точку будет иметь при $$a\in [0;4)$$
Задание 2338
Постройте график функции $$y = \left\{\begin{aligned} 2x - 2,& x 3 \\ -3x + 13{,}3,& 3 \le x \le 4 \\ 1{,}5x - 5,& x > 4 \end{aligned}\right.$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
