(C3) Функции и их свойства. Графики функций
Задание 84
Постройте график функции $$y = x^2 + 4|x| - 5$$. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?
1) Раскроем модуль по определениям:
При $$x \ge 0$$: $$y = x^2 + 4x - 5.$$ (на рисунке синим пунктиром) При $$x < 0$$: $$y = x^2 - 4x - 5.$$ (на рисунке красным пунктиром)
Это две параболы, открытые вверх. Первая имеет вершину при $$x = -2,$$ вторая — при $$x = 2,$$ обе вершины ниже точки пересечения при $$x = 0.$$ С учетом раскрытия модуля, на графике функции остаётся только правая ветвь первой параболы ($$y = x^2 + 4x - 5.$$ для $$x \ge 0$$) и левая ветвь второй параболы ($$y = x^2 - 4x - 5.$$ для $$x < 0$$).
2) Любая прямая, параллельная оси абсцисс, имеет уравнение $$y = k.$$ Она может пересечь левую ветвь графика не более чем в одной точке и правую ветвь — тоже не более чем в одной точке.
Значит, максимальное возможное число точек пересечения — две.
Задание 2765
При каких значениях $$a$$ число корней уравнения $$\left|x^2 - 2x - 7\right| = a$$ в четыре раза больше $$a$$?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3336
При каких значениях $$p$$ вершины парабол $$y = x^2 - 6px + p$$ и $$y = -x^2 + 2px + 3$$ расположены по одну сторону от оси $$x$$?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Вершина $$y=x^{2}-6px+p$$: $$x_{01}=-\frac{6p}{2}=3p$$, $$y_{01}=9p^{2}-18p^{2}+p=p-9p^{2}$$
Вершина $$y=-x^{2}+2px+3$$: $$x_{02}=-\frac{2p}{-2}=p$$, $$y_{02}=-p^{2}+2p^{2}+3=p^{2}+3$$
По одну сторону от OX:
$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y_{01}>0\\y_{02}>0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}y_{01}<0\\y_{02}<0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}>0 \\p^{2}+3>0 \end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}<0 \\p^{2}+3<0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}>0 \\p \in R \end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}<0 \\p \in \varnothing \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$p(1-9p)>0\Leftrightarrow$$ $$p\in (0 ;\frac{1}{9})$$
Задание 640
Прямая $$y = 2x + b$$ касается окружности $$x^2 + y^2 = 5$$ в точке с отрицательной абсциссой. Определите координаты точки касания.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
