Четырёхугольники и их элементы
Задание 4334
Докажите, что периметр параллелограмма больше суммы длин его диагоналей
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Текстовое решение временно недоступно, вы можете найти его в видео в начале варианта
Задание 3142
Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению длин её оснований.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) т.к. можно вписать окружность , то $$AB+CD=BC+AD$$
2) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*MN$$
Пусть $$OK\perp CD$$(OK-радиусы) . По свойству касательных : $$MC=CK$$, $$OM\perp CD\Rightarrow$$ $$\Delta MCO=\Delta CKO$$(по катету и гипотенузе) , аналогично, $$\Delta OKD=\Delta ODN$$. Тогда: $$\angle KDO=\angle ODN=\frac{\angle D}{2}=\frac{\alpha }{2}$$ и $$\angle MCO=\angle OCK=\frac{\angle C}{2}=\frac{180-\alpha }{2}=90-\frac{\alpha }{2}$$
Тогда: $$\angle COD=180-\frac{\alpha }{2}-(90-\frac{\alpha }{2})=90\Rightarrow$$ $$OK=\sqrt{CK*KD}$$.
Пусть CK=a, KD=b, OK=r, тогда: OL=OM=r; BM=BL; $$\angle B=90\Rightarrow$$ $$BM=BL=r$$; $$r^{2}=ab$$, $$BC=BM+MC=r+a$$, $$AD=AN+ND=r+b$$, $$AB=2r$$
3) $$S=\frac{r+a+r+b}{2}*2r=$$$$(2r+a+b)*2=2r^{2}+ar+br=$$$$r^{2}+r^{2}+ar+br=$$$$r^{2}+ab+ar+br=$$$$r(r+b)+a(r+b)=(r+b)(r+a)=AD*BC$$
Задание 4234
Докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2763
Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $$360^{\circ}$$
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2435
Известно, что около четырёхугольника $$ABCD$$ можно описать окружность и что продолжения сторон $$AB$$ и $$CD$$ четырёхугольника пересекаются в точке $$M$$. Докажите, что треугольники $$MBC$$ и $$MDA$$ подобны.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3310
На одной из параллельных сторон трапеции взята точка $$A$$, на другой – точка $$B$$. Докажите, что отрезок $$AB$$ делится средней линией трапеции пополам.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Достроим $$BA\cap KL=R$$. $$\Delta ARL\sim \Delta RHH\sim \Delta BRK$$ ( т.к. $$AL\left | \right |HP\left | \right | BK$$)
2) По т. Фелеса : $$RL:LP:PK=AR: AH: HB \Rightarrow$$ $$LP :PK =1:1\Rightarrow AH: HB= 1 :1$$
Задание 3359
На основаниях $$AB$$ и $$CD$$ вне трапеции построены квадраты. Докажите, что прямая, соединяющая их центры, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Пусть $$K\in B_{1}C$$, $$O=BD\cap AC$$, $$M=KO\cap AD$$
1) $$\angle LCK=\angle MAN=45$$; $$\angle LCO=\angle OAN$$(накрест лежащие) $$\Rightarrow \angle KCA=\angle OAD_{1}\Rightarrow$$ $$CB_{1}\left | \right |AD_{1}$$
2) $$\angle LKC=\angle NMA$$(накрест лежащие) $$\Rightarrow \Delta KLC\sim \Delta ANM\Rightarrow$$ $$\frac{KC}{AM}=\frac{CL}{AN}=k$$
3) $$LC\left | \right |AN\Rightarrow$$ $$\Delta LCO\sim \Delta ONA\Rightarrow$$ $$\frac{LC}{AN}=\frac{LO}{ON}=k$$
4) $$LC\left | \right |AN \Rightarrow$$ $$\Delta BLO\sim \Delta OND\Rightarrow$$ $$\frac{LO}{ON}=\frac{BL}{ND}=k$$
5)т.к. $$\frac{LC}{AN}=k$$, $$\frac{BL}{ND}=k$$ $$\Rightarrow \frac{BC}{AD}=k$$,но $$\frac{KC}{AM}=k$$ и $$\angle KCL=\angle MAN\Rightarrow$$ $$\Delta KCB\sim \Delta ADC$$ и если K-центр , то и М-центр
Задание 1484
На средней линии трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ выбрали произвольную точку $$K$$. Докажите, что сумма площадей треугольников $$BKC$$ и $$AKD$$ равна половине площади трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3793
На стороне $$BC$$ квадрата $$ABCD$$ взята точка $$M$$. Докажите, что площадь треугольника $$AMD$$ равна половине площади квадрата.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1)Пусть $$MH \perp AD$$ , тогда ABMH - прямоугольник и MH=AB
2)$$S_{AMD}=\frac{1}{2}AD*MH$$, или $$S_{AMD}=\frac{1}{2}AD*AB=\frac{1}{2}S_{ABCD}$$
Задание 1722
Основания $$BC$$ и $$AD$$ трапеции $$ABCD$$ равны соответственно $$4,5$$ и $$18$$, $$BD=9$$. Докажите, что треугольники $$CBD$$ и $$BDA$$ подобны.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3217
Пусть $$E$$ – середина стороны $$AB$$ трапеции $$ABCD$$ ($$BC\parallel AD$$). Докажите, что площадь треугольника $$ECD$$ равна половине площади трапеции $$ABCD$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
- Пусть $$EH\perp AD; EH=h$$
- $$\Delta EMD=\Delta EHA$$(по гипотенузе и острому углу )$$\Rightarrow$$ $$EM=h\Rightarrow$$ $$MH=2h$$
- Пусть $$BC=x; AD=y$$: $$S_{ABCD}=\frac{x+y}{2}*2h=xh+yh$$, $$S_{EBC}=\frac{1}{2}hx$$, $$S_{EAD}=\frac{1}{2}hy\Rightarrow$$ $$S_{CED}=h(x+y)-\frac{1}{2}h(x+y)=$$$$\frac{1}{2}h(x+y)=\frac{S_{ABCD}}{2}$$
Задание 3449
Середины сторон параллелограмма являются вершинами ромба. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
- $$AB=CD, BC=AD$$ так как дан параллелограмм. Следовательно, $$AM=MB=DL=LC$$, и $$AK=KD=BN=NC$$.
- $$\angle A+\angle D=180$$. Но $$MK=NK$$, следовательно, треугольники AMK и KLD равны по трем сторонам и $$\angle A=\angle D$$. Так как они в сумме дают 180, то какждый из них по 90, тогда ABCD - прямоугольник.
Задание 1120
Сторона $$AD$$ параллелограмма $$ABCD$$ вдвое больше стороны $$AB$$. Точка $$G$$ — середина стороны $$AD$$. Докажите, что $$BG$$ — биссектриса угла $$ABC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2038
Точка $$E$$ — середина боковой стороны $$AB$$ трапеции $$ABCD$$. Докажите, что площадь треугольника $$ECD$$ равна половине площади трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Рассмотрим треугольники ECB и DEA. Пусть BC=b, AB=a, h - высота трапеции, проведенная через Е. Тогда точка Е делит высоту на два равных отрезка $$\frac{h}{2}$$. Следовательно:
Тогда $$S_{ECD}=\frac{a+b}{2}h-\frac{1}{2}h(\frac{a}{2}+\frac{b}{2})=$$$$\frac{a+b}{4}h=\frac{S_{ABCD}}{2}$$