Четырёхугольники и их элементы

Точка $$K$$ — середина боковой стороны $$CD$$ трапеции $$ABCD$$. Докажите, что площадь треугольника $$KAB$$ равна половине площади трапеции.

Точка $$M$$ - середина стороны $$AB$$ параллелограмма $$ABCD$$, а $$MC=MD$$. Докажите, что параллелограмм $$ABCD$$ является прямоугольником.

Точка $$M$$ — середина боковой стороны $$AB$$ трапеции $$ABCD$$, а $$MC=MD$$. Докажите, что трапеция $$ABCD$$ прямоугольная.

Точка $$M$$ лежит на окружности радиуса $$R$$, описанной около прямоугольника $$ABCD$$. Докажите, что $$MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}=8R^{2}$$.

Точка $$N$$ - середина стороны $$BC$$ ромба $$ABCD$$, а $$AN=DN$$. Докажите, что ромб $$ABCD$$ является квадратом.

Три стороны параллелограмма равны. Докажите, что отрезок с концами в серединах противоположных сторон параллелограмма равен четверти его периметра.

Через точку $$O$$ пересечения диагоналей параллелограмма $$ABCD$$ проведена прямая, пересекающая стороны $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$P$$ и $$Q$$ соответственно. Докажите, что отрезки $$BP$$ и $$DQ$$ равны.

Четырехугольник $$ABCD$$ таков, что около него можно описать окружность и в него можно вписать окружность. Разность длин сторон $$AD$$ и $$BC$$ равна разности сторон $$AB$$ и $$CD$$. Докажите, что диагональ $$AC$$ – диаметр описанной окружности.