Четырёхугольники и их элементы
Задание 919
Внутри параллелограмма $$ABCD$$ выбрали произвольную точку $$E$$. Докажите, что сумма площадей треугольников $$AEB$$ и $$CED$$ равна половине площади параллелограмма.
Проведём через точку $$E$$ прямую $$MN \parallel AB$$
Площадь $$\triangle ABE = \frac{1}{2}S_{ABNM}$$ (*)
(*) Докажем это утверждение. Пусть $$EH$$ - высота в треугольнике $$ABE$$. Тогда $$S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot EH$$. Но $$S_{ABNM} = AB \cdot EH$$. Тогда $$S_{ABE}=\frac{1}{2}S_{ABNM}$$.Площадь $$\triangle CED = \frac{1}{2}S_{CNMD}$$
Сумма площадей: $$S_{ABE} + S_{CED} = \frac{1}{2}(S_{ABNM} + S_{CNMD})$$
Но $$S_{ABNM} + S_{CNMD} = S_{ABCD}$$
Таким образом: $$S_{ABE} + S_{CED} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$$
Что и требовалось доказать.
Задание 3115
Дан параллелограмм $$ABCD$$. Прямая, параллельная $$AB$$, пересекает биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$ в точках $$M$$ и $$N$$ соответственно. Докажите, что углы $$ADM$$ и $$ABN$$ равны
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Биссектрисы $$AA_{1}$$ и $$CC_{1}$$; $$AA_{1}\cap CD=H$$; $$CC_{1}\cap AB=R$$
1) Пусть $$\angle A=2\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BAA_{1}=\angle A_{1}AD=$$$$\angle BCC_{1}=\angle C_{1}CD=\alpha $$($$AA_{1}; CC_{1}$$ - биссектрисы)
2) $$\angle AHC=\angle BAA_{1}=\alpha$$ ; $$\angle ARC=\angle C_{1}CR=\alpha$$ (накрест лежащие ) $$\Rightarrow$$ $$BC=AD$$, то равнобедренные $$\Delta RBC=\Delta AHD$$$$\Rightarrow$$ $$RB=AD(1)$$
3) $$\angle BAM=\angle BRN=\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$AM\left | \right |RN, AR\left | \right |NM$$ (по построению ) $$\Rightarrow$$ AMNR - параллелограмм $$\Rightarrow$$ $$RN=AM(2)$$
4)С учетом (1) и (2) , и, что $$\angle BRN =\angle MAD=\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\Delta BRN=\Delta MAD$$$$\Rightarrow$$ $$\angle ABN=\angle ADM$$
Задание 3647
Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.
Последовательно соединенные через одну вершины восьмиугольника образуют треугольники, стороны которых образованы сторонами восьмиугольника и проведенными отрезками. В правильном восьмиугольнике все стороны и углы равны. Получается, что все получившиеся треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, все стороны у получившейся фигуры равны.
Углы у этих треугольников равны $$135;22,5; 22,5.$$
Тогда угол фигуры можно рассчитать как: $$\frac{360 - 135 - 22,5 - 22,5}{2}=90.$$
Итак, у нас получилась фигура с углами в $$90$$ градусов и равными сторонами. То есть квадрат.
Задание 2319
Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный восьмиугольник.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1952
Два равных прямоугольника $$ABCO$$ и $$KLMO$$ имеют общую вершину $$O$$, причём $$AO = OM$$ и $$OC = OK$$. Докажите, что площади треугольников $$AOK,\ COM$$ равны.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
$$\angle AOK=\alpha \to \angle COM=360-2\cdot 90-\alpha =180-\alpha \to {\sin AOK\ }={\sin COM\ }.$$ $$S_{\triangle AOK}=\frac{AO\cdot OK\cdot {\sin AOK\ }}{2};\ S_{\triangle COM}=\frac{OC\cdot OM\cdot {\sin COM\ }}{2},$$ но $$AO=OM;OC=OK\to S_{AOK}=S_{COM}$$
Задание 3979
Диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ взаимно перпендикулярны. Углы при вершинах $$B$$ и $$C$$ равны между собой. Докажите, что стороны $$AB$$ и $$CD$$ параллельны.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4003
Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника с неравными сторонами при пересечении образуют квадрат.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1)$$\angle JAD = \angle JDA = 45^{\circ}$$ (AJ и DJ - биссектрисы пярмых углов), тогда $$\angle AJD = 90^{\circ}$$. Тогда $$\angle FJI =90^{\circ}$$ как смежный. Аналогично $$\angle FGI =90^{\circ}$$ и тогда FGIJ - прямоугольник
2)$$\bigtriangleup AJD = \bigtriangleup BGC$$ (прямоугольные, равнобедренные, одинаковые гипотенуза), тогда DJ=GC(1). $$\bigtriangleup DFC$$ прямоугольный и равнобедренный, тогда DF=FG(2). Из равенств 1 и 2 получаем FJ=FG. Тогда FGIJ - квадрат
Задание 2721
Докажите, что в выпуклый четырехугольник $$ABCD$$ можно вписать окружность тогда и только тогда, когда $$AB+CD=AD+BC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3837
Докажите, что в трапеции, диагонали которой являются биссектрисами углов при одном из оснований, длины трёх сторон равны.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1)$$\angle BDA=\angle DBC$$(накрестлежащие при параллельных BC и AD) ; $$\angle BDA=\angle BDC$$ (BD - биссеткриса) , тогда $$\angle BDC=\angle DBC$$, тогда треугольник BDC - равнобедренный и BC=BD(1)
2)аналогично рассматривается равенство углов BAC и BCA, тогда треугольник ABC - равнобедренный, и AB=BC, но с учетом равенства (1) получаем AB=BC=CD.
ч.т.д.
Задание 3767
Докажите, что если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то высота трапеции равна средней линии.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1211
Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
