(C6) Геометрическая задача повышенной сложности

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Построим рисунок:

1) Пусть меньший угол $$\alpha$$, а жва других $$x$$ и $$y$$. По условию задания меньший равен равности двух сотавшихся, а по свойству треугольника разность 180 и меньшего дает сумму оставшихся. Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} \alpha= x-y\\180-\alpha =x+y \end{matrix}\right.$$

Сложим оба уравнения системы:

$$\Rightarrow 180=2x \Leftrightarrow x=90$$

То есть мы получили прямоугольный треугольник. Построим новый чертеж по условию задачи и с учетом полученного решения:

2) Пусть $$AC = x ; S_{AEDC}=S_{1}; S_{BCIH}=S_{2}$$. Тогда $$S_{1}=x^{2} ;$$$$ BC=\sqrt{x^{2}-1} \Rightarrow S_{2}=x^{2}-1 \Rightarrow $$$$S_{1}+S_{2}=2x^{2}-1$$

3)Пусть площадь окружности $$S_{3} ; R$$-радиус окружности.Радиус описанной окружотсти вокруг прямоугольного треугольника равен полвине его гипотенузы. $$R=\frac{AC}{2}=\frac{x}{2}$$. Тогда : $$S_{3}=\pi R^{2}=\pi \frac{x^{2}}{4}$$. Приравняем площади: $$2x^{2}-1=2*\pi \frac{x^{2}}{4} \Rightarrow $$$$4x^{2}-2=\pi x^{2} \Rightarrow $$$$x^{2}(4-\pi)=2 \Rightarrow $$$$x=\sqrt{\frac{2}{4-\pi}}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) Построим через $$CH\left | \right |AM$$ ($$H=CH\cap AB$$)

Пусть $$HK\cap BC=N$$; HBKC - равнобедренная трапеция $$\Rightarrow$$ BC=HK

Пусть $$BC=x=HK$$; $$AB=2x\Rightarrow$$ $$S_{ABCD}=BC*AB=2x^{2}$$

     2) $$\Delta BKN\sim \Delta HNC$$; $$\frac{BN}{NC}=\frac{BK}{HC}(1)$$; $$HC\left | \right |AM$$ и $$AB\left | \right |CD\Rightarrow$$ HCPA - параллелограмм и HC=AP

С учетом (1): $$\frac{BN}{NC}=\frac{BK}{HC}=\frac{BK}{AP}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$ $$BN=\frac{1}{4}*BC=\frac{x}{4}$$, $$NC=\frac{3}{4}*BC=\frac{3x}{4}=NH$$

     3) из $$\Delta BNH$$: $$BH=\sqrt{NH^{2}-BN^{2}}=\frac{x}{\sqrt{2}}$$

$$tg\angle BHC=\frac{BC}{BH}=\frac{x}{\frac{x}{\sqrt{2}}}=$$$$\sqrt{2}=tg\angle A\Rightarrow$$ $$\sin A=\sqrt{\frac{2}{3}}$$, $$\cos A=\sqrt{\frac{1}{3}}$$

$$HC=\frac{BC}{\sin HBC}=\frac{x\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\Rightarrow$$ $$BK=\frac{x\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}$$

     4)Пусть $$BL\perp AM$$, тогда из $$\Delta ABL$$: $$AL=AB*\cos A=2x*\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{2x}{\sqrt{3}}\Rightarrow$$ $$AM=BK+2AL=\frac{x\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}+\frac{2*2x}{\sqrt{3}}=$$$$\frac{x(\sqrt{3}+4\sqrt{6})}{3\sqrt{2}}$$, $$BL=AB \sin A=\frac{2x\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

$$S_{ABKM}=\frac{\frac{x\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}+\frac{x\sqrt{3}+x*4\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}}{2}*\frac{2x\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=$$$$\frac{2x\sqrt{3}+4x\sqrt{6}}{6\sqrt{2}}*\frac{2x\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=$$$$\frac{2x^{2}(\sqrt{3}+2\sqrt{6})}{3\sqrt{3}}$$

     5) $$\frac{S_{ABCD}}{S_{ABKM}}=2x^{2}:\frac{2x^{2}(\sqrt{3}+2\sqrt{6})}{3\sqrt{3}}=$$$$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2\sqrt{6}}=$$$$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}(1+2\sqrt{2})}=\frac{3}{1+2\sqrt{2}}$$

Введём обозначения, как показано на рисунке. Поскольку HG||AC и HE||BD, получаем, что HKOL — параллелограмм, следовательно, углы KHL и KOL равны. Рассмотрим треугольники ABC и EBF, угол EBF — общий, углы BEF и BAC равны как соответственные при параллельных прямых, углы BFE и BCA — аналогично, следовательно, треугольники ABC и BEF подобны по двум углам. Откуда $$\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{AB}.$$ Аналогично подобны треугольники ABD и AEH, откуда $$\frac{HE}{BD}=\frac{AE}{AB}.$$ Пусть сторона ромба равна a, а длина короткой диагонали равна d. Сложим два полученных уравнения:

$$\frac{EF}{AC}+\frac{HE}{BD}=\frac{AE}{AB}+\frac{BE}{AB}\Leftrightarrow\frac{a}{d}+\frac{a}{9d}=\frac{AE+EB}{AB}\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\frac{9a+a}{9d}=\frac{AB}{AB}\Leftrightarrow9d=10a\Leftrightarrow a=\frac{9d}{10}$$

Площадь ромба можно найти как произведение сторон на синус угла между ними: $$S_{HEFG}=a^2\sin\angle KHL.$$ Площадь параллелограмма можно найти как половину произведения диагоналей на синус угла между ними: $$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\cdot\sin\angle KOL=\frac{1}{2}\cdot9d\cdot\sin\angle KOL.$$ Найдём отношение площадей ромба и параллелограмма:

$$\frac{S_{HEFG}}{S_{ABCD}}=\frac{a^2\sin\angle KHL}{\frac{1}{2}\cdot d\cdot 9d\cdot\sin\angle KOL}=\frac{a^2}{4,5d^2}=\frac{d^2\cdot\frac{9^2}{10^2}}{4,5d^2}=\frac{9}{50}=0,18$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

   1) Пусть KN=3, KP=5, KM=6,$$KQ\perp DC$$

KD=KC=DC=Q, тогда:

$$\Delta KDC ND=\sqrt{a^{2}-3^{2}}$$

$$\Delta KPC PC=\sqrt{a^{2}-5^{2}}$$

   2) Опустим $$DH\perp BC$$, тогда DH=NP=8,

$$CH=ND-PC=\sqrt{a^{2}-3^{2}}-\sqrt{a^{2}-5^{2}}$$

Тогда из $$\Delta DHC:$$

$$a^{2}=8^{2}+(\sqrt{a^{2}-3^{2}}-\sqrt{a^{2}-5^{2}})^{2}$$

$$a^{2}-8^{2}=a^{2}-9+a^{2}-25-2\sqrt{a^{4}-34a^{2}+225}$$

$$2\sqrt{a^{4}-34a^{2}+225}=a^{2}+30$$

$$4a^{4}-136a^{2}+900=a^{4}+60a^{2}+900$$

$$3a^{4}-196a^{2}=0$$

$$3a^{2}(a^{2}-\frac{96}{3})=0$$

a=0-не может быть

$$a=\pm \sqrt{\frac{196}{3}}=\pm \frac{14}{\sqrt{3}}$$ отрицательным не может быть

   3) Из $$\Delta KDC KQ=KC*\sin C=\frac{14}{\sqrt{3}}*\frac{\sqrt{3}}{2}=7\Rightarrow MQ=13$$

   4) $$S_{ABCD}=MP*BC=MQ*DC$$

$$BC=\frac{MQ*DC}{NP}=\frac{13*14}{\sqrt{3}}{8}=\frac{91}{4\sqrt{3}}$$

   5) $$P_{ABCD}=2(\frac{14}{\sqrt{3}}+\frac{91}{4\sqrt{3}})=\frac{147}{2\sqrt{3}}=\frac{49\sqrt{3}}{2}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

      1) $$BE\cap CD=H$$ ; Пусть $$AE=2x$$ ; $$AD=y \Rightarrow$$ $$DB=4y; EC=3x$$

      2) Построим $$DK\left | \right |BE (K=DK\cap AC)\Rightarrow$$ по т Фалеса : $$\frac{AD}{DB}=\frac{AK}{KE}\Rightarrow$$ $$AK=0,4 x; KE=1,6 x$$.

      3) Пусть $$S_{ABC}=S$$; $$S_{ADC}=\frac{AD}{AB}S=\frac{S}{5}$$; $$S_{ADK}=\frac{AK}{AC}S_{ADC}=$$$$\frac{2}{25}*\frac{S}{5}=\frac{2S}{125};$$

     4) $$HE\left | \right | DK \Rightarrow$$ $$\Delta CHE\sim \Delta CDK$$; $$\frac{S_{CHE}}{S_{CDK}}=(\frac{CE}{CK})^{2}=$$$$(\frac{15}{23})^{2}=\frac{225}{529}\Rightarrow$$ $$S_{DHEK}=\frac{529-225}{529}*S_{CDK}$$; $$S_{CDK}=S_{ADC}-S_{ADK}=\frac{23S}{125}$$; $$S_{DHEK}=\frac{304}{529}*\frac{23S}{125}=\frac{304 S}{23*125}$$; $$S_{ADHE}=\frac{2S}{125}+\frac{304 S}{23*125}=\frac{350 S}{23*125}=\frac{14 S}{115}\Rightarrow$$ $$\frac{S_{ADHE}}{S_{ABC}}=\frac{14}{115}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) $$KF=KM-FM=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

2) $$\bigtriangleup LKF$$: $$LF=\sqrt{KL^{2}-LF^{2}}=\sqrt{1^{2}-\frac{3}{9}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$;

3) $$\bigtriangleup LKN$$ - прямоугольный, т.к. опирается на диаметр $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup KLF\sim\bigtriangleup LKN$$ (по 2 углам) $$\Rightarrow$$ $$\frac{KL}{LN}=\frac{LF}{KL}$$ $$\Rightarrow$$ $$KL^{2}=LN\cdot LF$$ $$\Rightarrow$$ $$KL^{2}=LF(LF+FN)$$, пусть $$FN=x$$

$$1^{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}(\frac{\sqrt{6}}{3}+x)$$; $$1-\frac{6}{9}=\frac{\sqrt{6}}{3}x$$; $$\Rightarrow$$ $$x=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$$; $$LN=LF+FN=\frac{\sqrt{6}}{3}+\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}+\frac{\sqrt{6}}{6}=$$ $$\frac{3\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$

4) $$R=\frac{1}{2}LN$$ (радиус описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы) $$\Rightarrow$$ $$R=\frac{\sqrt{6}}{4}$$

5) $$S=\pi R^{2}=\frac{6}{16}\pi=\frac{3}{8}\pi$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) AD*CE=CD*AE, тогда $$\frac{AD}{CD}=\frac{AE}{CE} \Leftrightarrow$$ DB - биссектриса в треугольнике ADC. Тогда $$\angle BDA = \angle CDB$$ , но $$\angle BDA = \angle BCA$$ и $$\angle CDB = \angle BAC$$ (как вписанные), следовательно $$\angle BCA = angle BAC$$ , тогда треугольник ABC - равнобедренный

2)Построим продолжение DС за точка C и отложим из B отрезок BF = DB так, что $$F \in DC$$. Тогда треугольник DBF - равнобедренный. Так как AB = BC, DB = BF и из равнобедренности DBF $$\angle BDF = \angle BFD$$, но и $$\angle BDA = \angle CDB$$, тогда $$\angle BDA=\angle BFD$$. $$\angle BAD + \angle DCB = 180$$ по свойству вписанного четырехугольника, но и $$\angle BCF + \angle DCB = 180$$ по свойству смежных углов, тогда $$\angle BAD = \angle BCF$$ и, следовательно, треугольники ABD и BCF равны, следовательно, $$S_{ADF}=S_{ABCD}$$

3)$$\angle DBF = 180 - 2*22.5 = 135$$ (из треугольника DBF), $$S_{DBF}=\frac{1}{2}DB*DF*\sin DBF$$, то есть $$S_{DBF}=0,5*6*6*\frac{\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) Пусть $$S_{AOD}=a_{1}$$; $$S_{AOB}=a_{2}$$; $$S_{BOC}=a_{3}$$; $$S_{COD}=a_{4}$$; $$\angle AOB=\alpha \Rightarrow$$ $$\angle AOD=180-\alpha$$

     2) $$a_{1}=\frac{1}{2}AO*OD \sin (180-\alpha )=$$$$\frac{1}{2}AO*OD \sin \alpha$$ ; $$a_{2}=\frac{1}{2}AO*OB \sin \alpha$$ , $$a_{3}=\frac{1}{2}BO*OC \sin \alpha$$ ; $$a_{4}=\frac{1}{2}CO*OD \sin \alpha$$ . Тогда : $$a_{1}*a_{3}=\frac{1}{4}AO*OD*BO*OC* \sin^{2}\alpha=a_{2}*a_{4}(1)$$

     3) т.к. арифметическая прогрессия ( пусть ее разность d ) , то: $$a_{2}=a_{1}+d$$; $$a_{3}=a_{1}+2d$$; $$a_{4}=a_{1}+3d$$. С учетом (1): $$a_{1}(a_{1}+2d)=(a_{1}+d))(a_{1}+3d)\Leftrightarrow$$ $$a_{1}^{2}+2a_{1}d=a_{1}^{2}+4a_{1}d+3d^{2}\Leftrightarrow$$ $$2a_{1}d+3d^{2}=0\Leftrightarrow$$ $$d(2a_{1}+3)=0$$. $$2a_{1}+3>0$$ ,т.к. $$a_{1}$$ - площадь , тогда d=0, но тогда $$a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}(2)$$

     4)С учетом (2) : $$AO *OD=AO*BO$$, $$(a_{1}=a_{2})\Rightarrow$$ $$BO=OD$$; $$AO*OB=BO*OC$$$$(a_{2}=a_{3})\Rightarrow$$$$AO=OD$$. Тогда ABCD-параллелограмм

     5) $$BO=OD=\frac{\sqrt{7}}{2}$$; $$AO=OC=2$$ Из $$\Delta AOB$$ : Пусть AB=x, тогда по теореме косинусов :

$$\frac{7}{4}=x^{2}+4-2x*2\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-2x\sqrt{3}+\frac{9}{4}=0\Leftrightarrow$$ $$D=12-9=3$$

$$x_{1}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

$$x_{2}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

     6) при $$AB=\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{27}}{2}$$ из $$\Delta ABC:$$ $$BC=\sqrt{\frac{9*3}{4}+16-2*4*\frac{3\sqrt{3}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}}=$$$$\sqrt{\frac{27}{4}+16-18}=$$$$\sqrt{\frac{27}{4}-2}=\frac{\sqrt{19}}{2}<AB\Rightarrow$$ не подходит по условию , что AB –меньшая.

Тогда:  $$S_{ABO}=\frac{1}{2}*AB*BO\sin BAO=$$$$\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}*2*\frac{1}{2}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{4}$$ и $$S_{ABCD}=\sqrt{3}$$