(C6) Геометрическая задача повышенной сложности
Задание 1894
В трапеции проведён отрезок, параллельный основаниям и делящий её на две трапеции одинаковой площади. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны $$24\sqrt{2}$$ и $$7\sqrt{2}$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2635
В трапецию, у которой меньшее основание равно $$5$$, вписана окружность. Одна из боковых сторон трапеции делится точкой касания на отрезки $$9$$ и $$4$$, считая от большего основания. Найдите площадь трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3474
В треугольнике $$ABC$$ биссектриса $$AD$$ делит сторону $$BC$$ на отрезки $$BD$$ и $$DC$$, причем $$BD:DC=3:2$$. На стороне $$AC$$ выбрана точка $$E$$ такая, что биссектриса $$AD$$ пересекает $$BE$$ в точке $$F$$ и $$BF:FE=5:2$$. Найдите площадь четырехугольника $$FDCE$$, если площадь треугольника $$ABC$$ равна $$70$$ см2 .
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) По т. Менелая из $$\Delta ADC:$$
$$\frac{BF}{FE}*\frac{EA}{AC}*\frac{CD}{BD}=1\Rightarrow$$ $$\frac{EA}{AC}=\frac{2}{5}*\frac{3}{2}=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{AE}{EC}=\frac{3}{2}$$;
2) по т. Менелая $$\Delta BEC$$:
$$\frac{AF}{FD}*\frac{DB}{BC}*\frac{CE}{EA}=1\Rightarrow \frac{AF}{FD}=\frac{5}{3}*\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$$
3) $$S_{ADC}= \frac{DC}{BC}; S_{ABC}=\frac{2}{5}*70=28$$
4) $$\frac{S_{AFE}}{S_{ADC}}=\frac{AF*AE}{AD*AC}=\frac{\frac{5}{7}AD*\frac{3}{5}AC}{AD*AC}=\frac{3}{7}$$, тогда $$S_{FDCE}=\frac{4}{7}*S_{ADC}=\frac{4}{7}*28=16$$
Задание 2951
В треугольнике $$ABC$$ биссектрисы $$AD$$ и $$BE$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите отношение площади четырехугольника $$DOEC$$ к площади треугольника $$ABC$$, если $$AC:AB:BC = 4:3:2$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$AC=4x; AB=3x;BC=2x$$.
2) По свойству биссектрисы $$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{3}{4}\Rightarrow$$ $$BD=\frac{3}{7}BC=\frac{6x}{7}$$; $$DC=\frac{4}{7}BC=\frac{8x}{7}$$. Аналогично, $$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{EC}=\frac{3}{2}\Rightarrow$$ $$AE=\frac{3}{5}AC=\frac{12x}{5}$$; $$EC=\frac{2}{5}AC=\frac{8x}{5}$$
3) Пусть $$EH\left | \right |OD\Rightarrow$$ по т. Фалеса : $$\frac{AE}{EC}=\frac{DH}{HC}=\frac{3}{2}\Rightarrow$$ $$DH=\frac{3}{5} DC=\frac{24x}{35}$$$$\Rightarrow$$ $$BH=\frac{54x}{35}$$
4)Пусть $$S_{ABCD}=S$$ $$\Rightarrow$$ при этом $$S_{BEC}=\frac{EC}{AC}S=\frac{2}{5}S$$; $$S_{BEH}=\frac{BH}{BC}S_{BEC}=$$$$\frac{54}{70}*\frac{2}{5}S=\frac{54S}{175}$$
5) т.к. $$OD\left | \right |EH$$, то $$\frac{S_{OBD}}{S_{BEH}}=(\frac{BD}{BH})^{2}=\frac{25}{81}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{2 S}{3*7}=\frac{2S}{21}\Rightarrow$$ $$S_{DOEC}=S_{BEC}-S_{OBD}=$$$$\frac{2}{5}S-\frac{2S}{21}=\frac{32 S}{105}\Rightarrow$$$$ \frac{S_{DOEC}}{S_{ABC}}=\frac{32}{105}$$
Задание 4393
В треугольнике $$ABC$$ из вершин $$A$$ и $$B$$ проведены отрезки $$AK$$ и $$BE$$, причем точки $$K$$ и $$E$$ лежат на сторонах $$BC$$ и $$AC$$ соответственно. Отрезки $$AK$$ и $$BE$$ пересекаются в точке $$M$$ так, что $$AM:MK = 5$$, $$BM:ME = 2$$. Найдите отношения $$AE:EC$$ и $$BK:KC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2336
В треугольнике $$ABC$$ известны длины сторон $$AB=28$$, $$AC=56$$, точка $$O$$ - центр окружности, описанной около треугольника $$ABC$$. Прямая $$BD$$, перпендикулярная прямой $$AO$$, пересекает сторону $$AC$$ в точке $$D$$. Найдите $$CD$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 620
В треугольнике $$ABC$$ на его медиане $$BM$$ отмечена точка $$K$$ так, что $$BK:KM=4:1$$. Прямая $$AK$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$P$$. Найдите отношение площади треугольника $$BKP$$ к площади треугольника $$ABC$$.
1) Пусть $$S_{ABC}=S$$. Тогда $$S_{ABM}=S_{BMC}=\frac{S}{2}$$.
2) Пусть $$ML||KP$$. По теореме Фалеса: $$\frac{AM}{MC}=\frac{PL}{LC}=\frac{1}{1}$$; $$\frac{BK}{KM}=\frac{BP}{PL}=\frac{4}{1}$$.
Тогда $$\frac{BP}{BC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$.
3) $$\frac{S_{BKP}}{S_{BMC}}=\frac{BK\cdot BP}{BM\cdot BC}=\frac{4\cdot2}{5\cdot3}=\frac{8}{15}\Rightarrow S_{BKP}=\frac{8}{15}\cdot\frac{S}{2}=\frac{4}{15}S\Rightarrow\frac{S_{BKP}}{S_{ABC}}=\frac{4}{15}$$
Задание 2720
В треугольнике $$ABC$$ на сторонах $$AB$$ и $$AC$$ взяты точки $$M$$ и $$N$$ соответственно так, что $$AM:MB = 3:2$$ и $$AN:NC = 4:5$$. В каком отношении прямая, проходящая через точку $$M$$ параллельно $$BC$$, делит отрезок $$BN$$?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3048
В треугольнике $$ABC$$ площадью $$90$$ см2 биссектриса $$AD$$ делит сторону $$BC$$ на отрезки $$BD$$ и $$CD$$, причём $$BD:CD=2:3$$. Отрезок $$BL$$ пересекает биссектрису $$AD$$ в точке $$E$$ и делит сторону $$AC$$ на отрезки $$AL$$ и $$CL$$ такие, что $$AL:CL=1:2$$. Найдите площадь четырёхугольника $$EDCL$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Пусть $$AL=y\Rightarrow$$ $$LC=2y; AC=3y$$
1) $$S)_{ABC}=90$$; $$\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{BD}{DC}=\frac{2}{3}\Rightarrow$$ $$S_{ABD}=\frac{2}{5}S_{ABC}=36$$. $$S_{ADC}=\frac{3}{5}S_{ABC}=54$$
2) Пусть $$DK\left | \right |EL \Rightarrow$$ по т. Фалеса : $$\frac{CK}{KL}=\frac{CD}{DB}=\frac{3}{2}\Rightarrow$$$$CK=\frac{3}{5}CL=\frac{6}{5}y$$. $$KL=\frac{2}{5}CL=\frac{4}{5}y$$
3) По т. Фалеса для $$\angle DAC$$: $$\frac{AE}{ED}=\frac{AL}{LK}=$$$$\frac{y}{0,8 y}=\frac{5}{4}\Rightarrow$$ $$AE=\frac{5}{9}AD$$
4) $$\frac{S_{AEL}}{S_{ADC}}=\frac{AE*AL}{AD*AC}=\frac{5}{27}\Rightarrow$$ $$S_{DELC}=\frac{22}{27}S_{ADC}=44$$
Задание 3836
В треугольнике $$ABC$$ точка $$D$$ на стороне $$BC$$ и точка $$F$$ на стороне $$AC$$ расположены так, что $$BD:DC=3:2$$, $$AF:FC=3:4$$. Отрезки $$AD$$ и $$BF$$ пересекаются в точке $$P$$. Найдите отношение $$AP:PD$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3954
В треугольнике $$ABC$$ угол $$B$$ равен $$30^{\circ}$$. Через точки $$A$$ и $$B$$ проведена окружность радиуса $$2$$, касающаяся прямой $$AC$$ в точке $$A$$. Через точки $$B$$ и $$C$$ проведена окружность радиуса $$3$$, касающаяся прямой $$AC$$ в точке $$C$$. Найдите длину стороны $$AC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$O_{1}$$ - ценрт оружности $$R_{1}=2$$; $$O_{2}$$ - ценрт оружности $$R_{2}=3$$; $$\angle ABC=\alpha$$; $$\angle BAC=\beta$$;
2) $$\angle BO_{2}C=2\angle BCA=2\alpha$$; $$\angle AO_{1}B=2\angle BAC=2\beta$$;
3) $$AB=2R_{1}\sin\beta=4\sin\beta$$; $$BC=2R_{2}\sin\alpha=6\sin\alpha$$; (по теореме синусов) $$\frac{AB}{\sin\alpha}=\frac{BC}{\sin\beta}$$ (из $$\bigtriangleup ABC$$) $$\Rightarrow$$ $$\frac{4\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{6\sin\alpha}{\sin\beta}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$4\sin^{2}\beta=6\sin^{2}\alpha$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\sqrt{\frac{3}{2}}$$
4) $$\frac{AC}{\sin\angle ABC}=\frac{AB}{\sin\angle ACB}$$ $$\Rightarrow$$ $$AC=\frac{AB}{\sin\angle ACB}\cdot\sin\angle ABC=$$ $$\frac{4\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot\sin30^{\circ}=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{2}=\sqrt{6}$$
Задание 3742
В треугольнике $$ABC$$, площадь которого равна $$S$$, точка $$M$$ середина стороны $$BC$$, точка $$N$$ на продолжении стороны $$AB$$ и точка $$K$$ на продолжении стороны $$AC$$ выбраны так, что $$AN=\frac{1}{2}AB$$, $$CK=\frac{1}{2}AC$$. Найти площадь треугольника $$MNK$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1)$$S_{MCR}=\frac{1}{4}*S$$
2)Пусть $$MR\left | \right |AC\Rightarrow AR=RB$$(RM-средняя линия)$$\Rightarrow AR=0,5*y=NA\Rightarrow AL$$-средняя линия $$\Rightarrow NL=LM\Rightarrow AL=\frac{1}{2}*RM=\frac{1}{4}*AC=\frac{1}{4}x ; LC=\frac{3}{4}x ;$$
3)$$S_{NMK}=S_{MCK}+S_{MCL}+S_{NLK}$$ $$S_{MCL}=\frac{1}{2}*\frac{3}{4}*S=\frac{3}{8}*S\Rightarrow S_{LMK}=\frac{3}{8}*S=\frac{5*S}{8};$$
4)KL-медиана$$\Rightarrow S_{MLK}=S_{KLN}=\frac{5*S}{8};$$
5) $$S_{MNK}=2*\frac{5*S}{8}=\frac{109}{8}=\frac{5S}{4};$$
Задание 3240
В треугольнике $$KEM$$ длина стороны $$KE$$ равна $$27$$, длина биссектрисы $$KB$$ равна $$24$$, а длина отрезка $$MB$$ равна $$8$$. Найдите периметр треугольника $$KMB$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть KE=a=27; KM=b; EB=x; BM=y=8; KB=m=24; $$\angle EKB=\angle BKM=\alpha$$
2) По свойству биссектрисы: $$\frac{x}{y}=\frac{a}{b}(1)$$
3) Рассмотрим теорему косинусов для $$\Delta EBK$$ и $$\Delta BMK$$:
$$\left\{\begin{matrix}y^{2}=m^{2}+b^{2}-2mb \cos \alpha\\x^{2}=m^{2}+a^{2}-2ma \cos \alpha\end{matrix}\right.$$
Умножим первое и второе уравнения на a и b соответственно и вычтем из первого второе :
$$\left\{\begin{matrix}y^{2}a =m^{2}a+b^{2}a-2mab \cos \alpha\\x^{2}b=m^{2}b+a^{2}b-2mab \cos \alpha\end{matrix}\right.$$
Получим: $$y^{2}a-x^{2}b=m^{2}a+b^{2}a-m^{2}b-a^{2}b$$
Рассмотрим левую часть равенства: $$y^{2}a-x^{2}b=xy(\frac{ya}{x}-\frac{xb}{y})$$ .С учетом , что $$\frac{x}{y}=\frac{a}{b}$$, получим : $$xy(\frac{b}{a}*a-\frac{a}{b}*b)=xy(b-a).$$
Рассмотрим правую часть равенства: $$m^{2}a+b^{2}a-m^{2}b-a^{2}b=m^{2}(a-b)-ba(a-b)$$. Получим : $$xy(b-a)=m^{2}(a-b)-ba(a-b)$$.
Т.к. $$a\neq b$$ (иначе получим равнобедренный), то поделим $$a-b$$: $$-xy=m^{2}-ba\Rightarrow m^{2}=ab-xy(2)$$ - вообще, это формула длины биссектриссы через две стороны и отрезки третьей, но в учебниках за 7-9 класс ее не встречал, потому необходимо ее выводить.
4) Итого имеем систему: $$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\\m^{2}=ab-xy\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{8}=\frac{27}{b}\\24^{2}=27b-8x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{216}{b}\\576=27b-\frac{8*216}{b}\end{matrix}\right.$$
$$576b=27b^{2}-1728\Leftrightarrow$$ $$27b^{2}-576b-1728=0|:9\Leftrightarrow$$ $$3b^{2}-64b-192=0$$
$$D=4096+2304=6400$$
$$b_{1}=\frac{64+80}{6}=\frac{144}{6}=24$$
$$b_{2}=\frac{64-80}{6}<0$$
5) $$P_{BMK}=m+y+b=24+8+24=56$$




