(C6) Геометрическая задача повышенной сложности

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Построим чертеж:

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) Пусть $$\angle DBC=\alpha$$ , тогда т.к. BC=CD, $$\angle BCD=\alpha$$, $$\angle C=180-2\alpha$$

     2) По свойству углов трапеции $$\angle C+\angle D=180\Rightarrow$$ $$\angle D=180-(180-2\alpha )=2\alpha$$ $$\Rightarrow \angle BDA=\alpha$$

      3) Пусть BD=y. Тогда из $$\Delta BCD$$:

$$CD^{2}=BC^{2}+AD^{2}-2BC*AD*\cos CBD$$

$$2^{2}=2^{2}+y^{2}-2*2*y*\cos \alpha \Leftrightarrow$$ $$y^{2}-4y*\cos \alpha =0$$

$$y(y-4\cos\alpha )=0$$, т.к. y-длина, то $$y\neq 0$$, тогда $$y-4\cos \alpha =0\Rightarrow y=4\cos\alpha$$

     4) Из $$\Delta ABD$$:

$$\frac{AB}{BD}=tgBDA\Rightarrow$$ $$\frac{2}{4\cos\alpha }=tg\alpha =\frac{\sin\alpha }{\cos\alpha }\Leftrightarrow$$ $$\sin\alpha =\frac{1}{2}\Rightarrow$$ $$\alpha =30\Rightarrow$$ $$y=4*\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$$

     5) $$S_{ABCD}=S_{BCD}+S_{ABD}=$$$$\frac{1}{2}*BC*BD*\sin CBD+\frac{1}{2}*AB*BD=$$$$\frac{1}{2}*2*2\sqrt{3}*\frac{1}{2}+\frac{1}{2}*2*2\sqrt{3}=$$$$\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) Пусть $$AB=CD=a$$, $$\angle BAC=\angle CAD$$(AC-биссектриса ), $$\angle CAD=\angle ACB$$(накрест лежащие),тогда $$\angle BAC=\angle BCA\Rightarrow$$ $$AB=BC=a$$

     2) Аналогично для $$\Delta CMD$$ : $$\angle BCM=\angle CMD$$, $$\angle BCM=\angle MCD$$, тогда $$\angle CMD=\angle MCD$$ и $$CD=MD=a$$

     3) из п.2 и параллельности BC и MD получим, что BCDM-параллелограмм; $$BM=CD=a$$, $$\Delta A_{1}BM$$ -равнобедренный; $$\angle ABM=180-2*30=120$$

По теореме косинусов : $$AM=\sqrt{AB^{2}+BM^{2}-2AB*BM*\cos ABM}=$$$$\sqrt{a^{2}+a^{2}-2*a*a*\cos 120}=a\sqrt{3}$$

     4) AK-биссектриса , тогда $$\frac{AB}{AM}=\frac{AK}{KM}=$$$$\frac{a}{\sqrt{30}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$, тогда $$\frac{KM}{BM}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$$ и $$S_{\Delta AKM}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}S_{ABM}$$

     5) Пусть $$CN\perp AD$$,тогда из $$\Delta CND$$: $$CH=CD*\sin D=\frac{a}{2}$$

     6) $$S_{ABD}=\frac{a+a+a\sqrt{3}}{2}*\frac{a}{2}=$$$$\frac{a^{2}}{4}(2+\sqrt{3})=2+\sqrt{3}\Rightarrow$$ $$a^{2}=4\Rightarrow a=2$$

     7)$$S_{ABM}=\frac{1}{2}*a*a* \sin 120=$$$$\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}=\sqrt{3}$$

$$S_{AKM}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}*\sqrt{3}=$$$$\frac{3}{\sqrt{3}+1}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) $$BC:MC =5:2\Rightarrow$$ $$BM:MC=3:2$$. Пусть $$BM=3y\Rightarrow$$ $$MC=2y, BC=5y$$

     2) По свойству биссектрисы: $$\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{MC}\Rightarrow$$ $$\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$$. $$AB=BC=5y\Rightarrow$$ $$AC=\frac{5*2y}{3}=\frac{10y}{3}$$

     3) $$AM=\sqrt{AB*AC-BM*MC}=$$$$\sqrt{5y*\frac{10y}{3}-3y*2y}=$$$$\sqrt{\frac{50y^{2}-12y^{2}}{3}}=$$$$\sqrt{\frac{32 y^{2}}{3}}=$$$$4y\sqrt{\frac{2}{3}}$$

     4) $$S_{AMC}=S_{ABC}*\frac{MC}{BC}$$, $$p_{ABC}=5y+5y+\frac{10y}{3}=\frac{20y}{3}$$

$$S_{ABC}=\sqrt{\frac{20y}{3}*(\frac{20y}{3}-5y)^{2}(\frac{20y}{3}-\frac{10y}{3})}=$$$$\frac{50y^{2}\sqrt{2}}{9}\Rightarrow$$

$$S_{AMC}=\frac{2}{5}*\frac{50y^{2}\sqrt{2}}{9}=$$$$\frac{20y^{2}\sqrt{2}}{9}$$

     5) $$R=\frac{MC*AC}{4 S_{AMC}}\Rightarrow$$ $$\frac{MC}{R}=\frac{4 S_{AMC}}{AM*AC}=$$$$\frac{4*20y^{2}\sqrt{2}}{9}:(4y\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}*\frac{10y}{3})=$$$$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) из $$\bigtriangleup AHB$$: $$\sin A=\frac{BH}{AB}$$ $$\Rightarrow$$

$$AB=\frac{BH}{\sin A}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$$

2) $$MB=\frac{3}{4}AB$$; $$BN=\frac{3}{8}BC$$ $$\Rightarrow$$

$$S_{BMN}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}AB\cdot\frac{3}{8}BC\cdot\sin B=\frac{9}{32}\cdot\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot\sin B=\frac{9}{32}S_{ABC}$$

3) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot\sin B=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$ $$\Rightarrow$$

$$S_{AMNC}=S_{ABC}-S_{BMN}=\frac{23}{32}S_{ABC}=\frac{23}{32}\cdot\sqrt{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Решение временно отсутствует, можете найти его в моем видео-разборе ( вначале варианта )

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Пусть $$AH=h$$ - высота

$$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot AH=\frac{6+10}{2}\cdot h=h$$

тогда $$S_{AKD}=\frac{1}{2}AD\cdot x$$, х - высота

$$S_{AKD}=KM$$

$$S_{AKD}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot x=3x=\frac{1}{4}S_{ABCD}=2h$$

$$x=\frac{2h}{3}$$

2) $$LK+KM=h$$ $$\Rightarrow$$ $$LK=\frac{h}{3}$$ - высота $$\bigtriangleup CMK$$

3) $$\bigtriangleup AKD\sim\bigtriangleup CMK$$ по трем углам $$\Rightarrow$$

$$\frac{AD}{CM}=\frac{KM}{KL}=\frac{2h}{3}\div\frac{h}{3}=\frac{2}{1}$$ 

$$CM=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\cdot6=3$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) $$\angle ABK=\angle CBK$$ (BL-биссектриса ), $$\angle CBK=\angle AKB$$ (накрест лежащие) $$\Rightarrow AB=AK=9$$; AL-биссектриса , медиана и высота равнобедренного $$\Delta ABK$$: $$AL\perp BK$$ и $$BL\perp LK(1)$$

     2) Аналогично из $$\Delta CDK$$ : $$CD=DK=5$$; $$DN\perp CK$$; $$CN=NK$$. С учетом (1) - LN-средняя линия $$\Delta BKC$$ и AD=14

     3) $$MK\cap LN=Q$$; $$KM\cap BC=P$$. Тогда : $$LN\left | \right |BC$$, $$BC\left | \right |AD\Rightarrow$$ $$LN\left | \right |AD$$ и : $$\Delta LMN\sim \Delta AMD\Rightarrow$$ $$QN:QL=KD:KA=5:9\Rightarrow$$ $$QL=\frac{9 QN}{5}(2)$$

     4) $$\angle MLN=\angle MNK=90\Rightarrow$$ около $$MNKL$$ можно описать окружность ($$\angle MLK+\angle MNK=180$$) $$\Rightarrow \Delta LMQ\sim \Delta QNM$$: $$\frac{LM}{NK}=\frac{MQ}{QN}=\frac{3}{7}(3)$$

     5) $$\Delta LQK\sim \Delta MQN\Rightarrow$$ $$\frac{MN}{LK}=\frac{MQ}{QL}$$. С учетом (2) : $$\frac{NQ}{QL}=\frac{MQ}{\frac{9QN}{5}}=$$$$\frac{5MQ}{9 QN}(3)$$. С учетом (3): $$\frac{5 MQ}{9 QN}=\frac{5}{9}*\frac{3}{7}=$$$$\frac{5}{21}=\frac{MN}{LK}$$