(C6) Геометрическая задача повышенной сложности

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) Т.к в ABCD можно вписать окружность , то $$AB+CD=BC+AD=16$$. Пусть BC=x $$\Rightarrow$$ AD=16-x

     2) Пусть $$OL\perp BC$$ и $$ON\perp AD$$ (радиусы в точку касания) , и $$OL=ON=y$$; $$MK=\frac{BC+AD}{2}=8$$ - средняя линия. Тогда $$S_{MBCK}=\frac{x+8}{2}*y$$; $$S_{AMKD}=\frac{16-x+8}{2}*y=\frac{24-x}{2}*y$$

     3) $$\frac{S_{MBCK}}{S_{AMKD}}=\frac{\frac{x+8}{2}*y}{\frac{24-x}{2}*y}=$$$$\frac{5}{11}\Leftrightarrow$$ $$\frac{x+8}{24-x}=\frac{5}{11}\Leftrightarrow$$ $$11x+88=120-5x\Leftrightarrow$$$$16x=32\Leftrightarrow$$ $$x=2\Rightarrow$$ $$BC=2; AD=14$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) $$\tan ABC=\frac{AC}{BC}=2,4=\frac{12}{5}$$. Пусть $$AC=12x$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=5x$$. По т. Пифагора: $$AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}=13x$$

2) $$\bigtriangleup CPA\sim\bigtriangleup ABC$$ (прямоугольные с общим сотрым углом) $$\Rightarrow$$ $$\frac{O_{1}L}{OK}=\frac{AC}{AB}=\frac{12x}{13x}=\frac{12}{13}$$ $$\Rightarrow$$ $$OK=\frac{O_{1}L\cdot13}{12}=\frac{12\cdot13}{12}=13$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\frac{S_{BMLC}}{S_{AMLD}}=\frac{2}{1}$$

1) Пусть $$BC=x$$; $$AD=y$$; $$BZ=h$$ $$\Rightarrow$$ $$BR=\frac{3h}{4}$$; $$RZ=\frac{h}{4}$$; $$AZ+ND=y-x$$ $$\Rightarrow$$ $$MR+IL=\frac{3}{4}(y-x)$$ $$\Rightarrow$$ $$ML=x+\frac{3}{4}(y-x)=\frac{x+3y}{4}$$

2) $$\left.\begin{matrix}S_{BMLC}=\frac{x+\frac{x+3y}{4}}{2}\cdot \frac{3h}{4}=\frac{(5x+3y)\cdot 3h}{32}\\S_{AMLD}=\frac{\frac{x+3y}{4}+y}{2}\cdot \frac{h}{4}=\frac{(x+7y)\cdot h}{32}\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{S_{BMLC}}{S_{AMLD}}=\frac{15x+9y}{x+7y}=\frac{2}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$15x+9y=2x+14y$$ $$\Rightarrow$$ $$y=\frac{13x}{5}=2,6x$$

3) $$\left.\begin{matrix}S_{BCKH}=\frac{x+\frac{x+y}{2}}{2}\cdot \frac{h}{2}=\frac{(3x+y)\cdot h}{8}\\S_{MCDA}=\frac{\frac{x+y}{2}+y}{2}\cdot \frac{h}{2}=\frac{(x+3y)\cdot h}{8}\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{S_{BCKH}}{S_{MCDA}}=\frac{3x+y}{x+3y}=\frac{3x+2,6x}{x+7,8x}=\frac{5,6x}{8,8x}=\frac{7}{11}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) Пусть F точка касания и $$CD=x$$. Опустим перпендикуляры FH(через Q) и $$AC_{1}$$. Тогда $$CD=FH=AC_{1}=x$$

     2) $$\Delta QHB\sim \Delta DCB$$: $$\frac{CD}{QH}=\frac{BD}{BQ}\Rightarrow$$ $$QH=\frac{1}{4}EB=\frac{1}{4}x\Rightarrow$$$$FQ=x-\frac{1}{4}x=\frac{3}{4}x$$. Но QP=QF (радиус)

     3) из $$\Delta QHP:$$ $$PH=\frac{1}{2}PK=2$$. Тогда по т. Пифагора : $$PQ^{2}=QH^{2}+PH^{2}\Leftrightarrow$$ $$(\frac{3}{4}x)^{2}=(\frac{1}{4}x)^{2}+2^{2}\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}}{2}=4\Rightarrow$$ $$x^{2}=8$$

     4)из $$\Delta AC_{1}B$$ : $$AB=\sqrt{AC_{1}^{2}+C_{1}B^{2}}$$.  $$C_{1}B=CB-AD=9-8=1$$, $$AC_{1}^{2}=x^{2}=8$$, тогда $$AB=\sqrt{8+1}=3$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) Пусть O – центр окружности,K-вершина, M-точка касания, $$OM\perp KM$$; $$OR\perp AB$$; x –радиус . $$RA=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$; $$HC=\frac{DC}{2}=\frac{\sqrt{7}}{2}$$.

     2) из $$\Delta ORA$$: $$OR=\sqrt{OA^{2}-RA^{2}}=\sqrt{x^{2}-\frac{3}{2}}$$

     3) $$\Delta OHN \sim \Delta NMK$$ (прямоугольные, $$\angle ONH=\angle MNK$$)$$\Rightarrow$$ $$OH=HN=\frac{ON}{\sqrt{2}}=$$$$\frac{OM-NM}{\sqrt{2}}=\frac{x-NM}{\sqrt{2}}=$$$$\frac{x-MK}{\sqrt{2}}=\frac{x-OR}{\sqrt{2}}=$$$$\frac{x-\sqrt{x^{2}-\frac{3}{2}}}{\sqrt{2}}$$

     4) из $$\Delta OHC$$: $$OC^{2}=OH^{2}+HC^{2}\Leftrightarrow$$ $$x^{2}=(\frac{x-\sqrt{x^{2}-\frac{3}{2}}}{2})^{2}+\frac{7}{4}\Leftrightarrow$$ $$x^{2} =\frac{1}{2} (x^{2}+x^{2}-\frac{3}{2}-2x\sqrt{x^{2}-\frac{3}{2}}) +\frac{7}{4} \Leftrightarrow$$ $$2x^{2}=2x^{2}-\frac{3}{2}+\frac{7}{2}-2x\sqrt{x^{2}-\frac{3}{2}}\Leftrightarrow$$ $$x\sqrt{x^{2}-\frac{3}{2}}=1\Leftrightarrow$$ $$x^{4}-\frac{3}{2}x^{2}-1=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x^{2}=2 & & \\x^{2}=-\frac{1}{2} & &\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=\sqrt{2}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

       1) Введем обозначения, как показано на рисунке.

       2) В силу равенства BLи AD и AB и CD, а так же, $$\frac{AM}{MB}=\frac{CK}{KD}$$ и $$\frac{BN}{NC}=\frac{DL}{AD}$$, получим равенство $$\Delta BKC$$ и $$\Delta AMD$$ ; $$\Delta ABN$$ и $$\Delta CDL$$, и что MBKD, ANCL - параллелограммы $$\Rightarrow$$ $$BK\left | \right |MD$$ и $$AN\left | \right |CL$$

       3) Тогда по т. Фалеса $$\frac{BA_{1}}{BB_{1}}=\frac{BN}{BC}=\frac{1}{4}$$$$\Rightarrow$$, если $$S_{BNA_{1}}=y$$, то $$S_{BCB_{1}}=16y$$ (площади подобных относятся как квадрат коэффициента подобия)$$\Rightarrow$$ $$S_{NCB_{1}A_{1}}=15y$$. Аналогично, $$S_{DC_{1}L}=y$$; $$S_{AD_{1}C_{1}L}=15y$$

Если $$S_{AMD_{1}}=x$$ , то $$S_{ABA_{1}}=9x$$$$\Rightarrow$$ $$S_{MBA_{1}D_{1}}=8x$$

Аналогично, $$S_{CKB_{1}}=x$$; $$S_{B_{1}KDC_{1}}=8x$$ ,пусть $$S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=Z$$

       4) $$S_{MBKD}=\frac{MB}{AB}*S_{ABCD}=\frac{2}{3}=2*8x+z$$

$$S_{ABCL}=\frac{NC}{BC}*S_{ABCD}=\frac{3}{4}=2*15y+z$$

$$S_{ABCD}=1=2*16y+2*9x+z$$

Получим :

$$\left\{\begin{matrix}16x+z=\frac{2}{3}\\30y+z=\frac{3}{4}\\32y+18x+z=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\frac{2}{3}-z}{16}\\y=\frac{\frac{3}{4}-z}{30}\\32(\frac{\frac{3}{4}-z}{30}+18(\frac{\frac{2}{3}-z}{16})+z=1|*120\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$8(12-16z)+15(6-9z)+120z=120\Leftrightarrow$$$$143z=66\Leftrightarrow$$$$z=\frac{6}{13}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!