(C6) Геометрическая задача повышенной сложности

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Текстовое решение временно недоступно, вы можете найти его в видео в начале варианта

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) $$LM\left | \right | KN\Rightarrow \angle LMK=\angle MKN$$(накрест лежащие)$$\Rightarrow \cup LK=\cup MN$$(вписанные углы равны)

$$MK \left | \right |NP\Rightarrow \angle MKN=\angle KNP\Rightarrow \cup KP=\cup MN=\cup LK.$$

$$LP\left | \right | MN\Rightarrow \angle LPM=\angle PMN\Rightarrow \cup LM=\cup NP.$$

2)Пусть $$\cup KL=\alpha$$ и $$\cup LM=\beta .$$

$$\angle LOM=\angle NOP$$(вертикальные) ,но т.к.

$$\cup LM=\cup NP$$, то $$\angle LOM-\frac{\cup LM+\cup PN}{2}=\beta =45$$

3)$$\Delta LPK : LK=2R \sin LPK= 2R \sin 45$$

$$\Delta LPM: LM=2R \sin LPM =2R \sin 22,5$$

$$S_{\Delta LKM}=\frac{1}{2} *LK*LM* \sin KLM=$$$$\frac{1}{2} *2R \sin 22,5 * \sin (90+22,5)=$$$$2R^{2}* \sin 22,5 * \cos 22,,5 * \sin 45=R^{2}* \sin^{2} 45=4$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) $$\bigtriangleup BOM\sim \bigtriangleup AOD$$; $$\frac{BM}{AD}=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{S_{BOM}}{S_{AOD}}=\frac{1}{4}$$

2) Пусть $$S_{BOM}=S_{1}$$; $$S_{AOD}=S_{2}$$; $$S_{ABO}=S_{3}$$ $$\Rightarrow S_{AOD}=4S_{BOM}=4S_{2}$$; $$S_{ABD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}=\frac{1}{2}$$; $$S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot BM=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot BC\cdot BM=\frac{1}{4}S_{ABCD}=\frac{1}{4}$$

3) $$\left\{\begin{matrix}S_{1}+S_{3}=\frac{1}{4}\\S_{3}+S_{2}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}S_{1}+S_{3}=\frac{1}{4}\\S_{3}+4S_{1}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ (вычтем из второго первое) $$3S_{1}=\frac{1}{4}\Rightarrow S_{1}=\frac{1}{12}$$ $$S_{2}=4\frac{1}{12}=\frac{1}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{3}=\frac{1}{4}-S_{1}=\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$$ $$S_{1}+S_{2}+S_{3}=\frac{1}{12}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1+4+2}{12}=\frac{7}{12}=S_{ABMD}$$ $$S_{MOCD}=1-S_{ABMD}=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) т.к. средняя линия равна $$\frac{4}{3}$$, то $$\frac{BC+AD}{2}=\frac{4}{3}\Rightarrow$$ $$BC+AD=\frac{8}{3}$$

     2) $$\Delta BOC\sim \Delta AOD$$ ($$\angle BCO=\angle OAD$$ - накрест лежащие , $$\angle BOC=\angle AOD$$ - вертикальные )$$\Rightarrow$$ $$\frac{BC}{AD}=\frac{CO}{OA}=\frac{1}{3}$$$$\Rightarrow$$ пусть $$BC=x\Rightarrow$$ $$AD=\frac{8}{3}-x$$ тогда $$\frac{x}{\frac{8}{3}-x}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$ $$3x=\frac{8}{3}-x\Rightarrow$$ $$x=\frac{2}{3}$$$$\Rightarrow$$ $$AD=2$$

     3) $$\Delta BOM \sim \Delta ABD$$ ($$MO\left | \right |AD$$) $$\Rightarrow$$ $$\frac{MO}{AD}=\frac{BO}{BD}=$$$$\frac{1}{4}\Rightarrow$$ $$MO=\frac{1}{4}*2=\frac{1}{2}$$. Аналогично, $$ON=\frac{1}{4}AD=\frac{1}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$MN=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$S_{ABC}=p\cdot r=\frac{AB+BC+AC}{2}\cdot r$$; $$P_{AMN}=AM+MN+AN$$; BO - биссетриса $$\Rightarrow$$ $$MO\parallel BO$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle MOB=\angle OBH=\angle OBM$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup MBO$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$MB=MO$$. Аналогично: $$ON=NC$$ $$\Rightarrow$$ $$MN=MO+ON=MN+NC$$; $$AB=AM+MB$$; $$AC=AN+NC$$; $$P_{AMN}=AM+AN+NO+OM=AM+AN+NC+MB=AB+AC=3$$

Из $$\bigtriangleup AOP$$: $$AP=\sqrt{AO^{2}-OP^{2}}=\sqrt{(3r)^{2}-r^{2}}=\sqrt{8}r$$; $$S_{ABC}=\frac{AB+BC+AC}{2}\cdot r=\frac{3+1}{2}\cdot r=2r$$; $$AP=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{3-1}{2}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$AP=1=\sqrt{8}r$$ $$\Rightarrow$$ $$r=\frac{1}{\sqrt{8}}$$; $$S_{ABC}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{8}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) $$AF\div FC=3\div1$$; $$AC=4$$ $$\Rightarrow$$ $$AF=3$$; $$FC=1$$

2) $$\angle CAD=\angle CBF$$; $$\angle BCA=\angle BDA$$ (опираются на одни дуги); $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BFC\sim\bigtriangleup AFD$$: пусть $$BF=4x$$; $$FD=3x$$, тогда $$k=\frac{BF}{AF}=\frac{CF}{FD}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{4x}{3}=\frac{1}{3x}$$ $$\Rightarrow$$ $$4x^{2}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$BF=2$$; $$FD=1,5$$

3) $$\frac{BC}{AD}=k=\frac{2}{3}$$ $$\Rightarrow$$ пусть $$BC=a$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=1,5a$$. По теореме косинусов для $$\bigtriangleup ABC$$ и $$\bigtriangleup ABD$$: $$\left\{\begin{matrix}AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}-2BC\cdot AC\cdot\cos\angle BCA\\AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}-2BD\cdot AD\cdot\cos\angle BDA\end{matrix}\right.$$ Приравниваем их: $$a^{2}+16-2\cdot4\cdot a\cdot\frac{1}{4}=2,25a^{2}+12,25-2\cdot\frac{2}{3}a\cdot3,5\cdot\frac{1}{4}$$; $$1,25a^{2}+3,75a-0,625a=0$$; $$2a^{2}-a+6=0$$; $$a=2$$ $$\Rightarrow$$ $$b=\sqrt{4+16-2\cdot2\cdot4\cdot\frac{1}{4}}=4=AB$$

4) Из $$\bigtriangleup ABC$$: $$\frac{AB}{2\sin\angle BCA}=R$$, где R - радиус описанной окружности; $$\sin\angle BCA=\sqrt{1-\cos^{2}\angle BCA}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$$; $$R=\frac{4}{2\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{8}{\sqrt{15}}=\frac{8\sqrt{15}}{15}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!