Задание 3403
Задание 3403
Внутри параллелограмма $$ABCD$$ взята точка $$K$$ так, что треугольник $$CKD$$ равносторонний. Известно, что расстояния от точки $$K$$ до прямых $$AD$$, $$AB$$ и $$BC$$ равны соответственно $$3$$, $$6$$ и $$5$$. Найдите периметр параллелограмма.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть KN=3, KP=5, KM=6,$$KQ\perp DC$$
KD=KC=DC=Q, тогда:
$$\Delta KDC ND=\sqrt{a^{2}-3^{2}}$$
$$\Delta KPC PC=\sqrt{a^{2}-5^{2}}$$
2) Опустим $$DH\perp BC$$, тогда DH=NP=8,
$$CH=ND-PC=\sqrt{a^{2}-3^{2}}-\sqrt{a^{2}-5^{2}}$$
Тогда из $$\Delta DHC:$$
$$a^{2}=8^{2}+(\sqrt{a^{2}-3^{2}}-\sqrt{a^{2}-5^{2}})^{2}$$
$$a^{2}-8^{2}=a^{2}-9+a^{2}-25-2\sqrt{a^{4}-34a^{2}+225}$$
$$2\sqrt{a^{4}-34a^{2}+225}=a^{2}+30$$
$$4a^{4}-136a^{2}+900=a^{4}+60a^{2}+900$$
$$3a^{4}-196a^{2}=0$$
$$3a^{2}(a^{2}-\frac{96}{3})=0$$
a=0-не может быть
$$a=\pm \sqrt{\frac{196}{3}}=\pm \frac{14}{\sqrt{3}}$$ отрицательным не может быть
3) Из $$\Delta KDC KQ=KC*\sin C=\frac{14}{\sqrt{3}}*\frac{\sqrt{3}}{2}=7\Rightarrow MQ=13$$
4) $$S_{ABCD}=MP*BC=MQ*DC$$
$$BC=\frac{MQ*DC}{NP}=\frac{13*14}{\sqrt{3}}{8}=\frac{91}{4\sqrt{3}}$$
5) $$P_{ABCD}=2(\frac{14}{\sqrt{3}}+\frac{91}{4\sqrt{3}})=\frac{147}{2\sqrt{3}}=\frac{49\sqrt{3}}{2}$$
Задание 2879
Внутри параллелограмма $$ABCD$$ взята точка $$P$$ так, что треугольник $$APD$$ равносторонний. Известно, что расстояния от точки $$P$$ до прямых $$AB$$, $$BC$$ и $$CD$$ равны соответственно $$10$$, $$3$$ и $$6$$. Найдите периметр параллелограмма.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
