Задание 3263
Задание 3263
В выпуклом четырехугольнике $$ABCD$$ отрезок $$CM$$, соединяющий вершину $$C$$ с точкой $$M$$, расположенной на стороне $$AD$$, пересекает диагональ $$BD$$ в точке $$K$$. Известно, что $$CK:KM=2:1$$, $$CD:DK=5:3$$ и $$\angle ABD+\angle ACD=180^{\circ}$$. Найдите отношение стороны $$AB$$ и диагонали $$AC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$\angle ADB =\alpha$$ , $$\angle ADC=\beta$$
по т. Синусов : $$\Delta ABD$$: $$\frac{AB}{\sin \alpha }=\frac{AD}{\sin \angle ABD}(1)$$
$$\sin \angle BAD=$$$$\sin(180-\angle ACD)=$$$$\sin \angle ACD(2)$$
$$\Delta ACD$$ : $$\frac{AD}{\sin \angle ACD}=$$$$\frac{AC}{\sin \beta }(3)$$
Учитывая (1) и (2) и (3) : $$\frac{AB}{\sin \alpha }=\frac{AC}{\sin \beta }\Leftrightarrow$$ $$\frac{AB}{AC}=\frac{\sin\alpha }{\sin \beta }$$
2) Пусть $$MK=x$$ $$\Rightarrow$$ $$CK=2x$$, $$CM=3x$$, $$CD=5y$$ $$\Rightarrow$$ $$DK=3y$$, $$\angle CMD=\delta$$
Из $$\Delta MDK$$ : $$\frac{x}{\sin \alpha }=\frac{3y}{\sin \delta }\Rightarrow$$ $$\sin \alpha =\frac{x\sin \delta }{3y}$$
Из $$\Delta MDC$$ : $$\frac{3x}{\sin \beta }=\frac{5y}{\sin \delta }\Rightarrow$$ $$\sin \beta =\frac{3x \sin \delta }{5y}$$
Тогда $$\frac{AB}{AC}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=$$$$\frac{x \sin \delta }{3y}*\frac{5y}{3x \sin \delta }=$$$$\frac{5}{9}$$
Задание 3333
В выпуклом четырехугольнике $$KLMN$$ отрезок $$MS$$, соединяющий вершину $$M$$ с точкой $$S$$, расположенной на стороне $$KN$$, пересекает диагональ $$LN$$ в точке $$O$$. Известно, что $$KL:MN=6:7$$, $$KM:ON=2:1$$ и $$\angle KLN + \angle KMN=180^{\circ}$$. Найдите отношение отрезков $$MO$$ и $$OS$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$KM\cap LN=P$$, $$\angle KLN=\alpha$$ , тогда $$\angle KMN=180-\alpha$$ ,$$\angle LPK=\angle MPN=\beta$$ (вертикальные)
2) из $$\Delta LPK$$ по теореме синусов: $$\frac{KP}{\sin \alpha }=\frac{LK}{\sin \beta }(1)$$
Из $$\Delta PMN : \frac{PN}{\sin (180-\alpha )}=\frac{MN}{\sin \beta }$$
С учетом , что $$\sin \alpha =\sin (180-\alpha )$$, получаем: $$\frac{PN}{\sin \alpha }=\frac{MN}{\sin \beta }(2)$$
Поделим (1) и (2): $$\frac{KP}{PN}=\frac{LK}{MN}=\frac{6}{7}$$
3) Пусть KM=2y; ON=y, тогда KP=6x, PN=7x, PM=2y-6x, PO=7x-y;
4)По т. Менелая из $$\Delta KPN$$ и секущей MS : $$\frac{MO}{OS}*\frac{SN}{NK}*\frac{KP}{PM}=1$$
Пусть $$\frac{SO}{OS}=m$$, тогда $$m*\frac{SN}{SN+SK}*\frac{6x}{2y-6x}=1(3)$$
По т. Менелая из $$\Delta KMS$$ и секущей NP: $$\frac{NO}{OP}*\frac{PM}{MK}*\frac{MS}{SN}=1$$
Пусть $$\frac{SK}{SN}=n$$, тогда $$\frac{SN}{SN+SK}=\frac{\frac{SN}{SN}}{\frac{SN}{SN}+\frac{SK}{SN}}=\frac{1}{1+n}$$
Получаем: $$\frac{y}{7x-y}*\frac{2y-6x}{2y}*n=1(4)$$
Выразим в (3) m: $$m=\frac{2y-6x}{6x}*(1+n)=\frac{(y-3x)(1+n)}{3x}(5)$$
Выразим в (4) n: $$n=\frac{y}{y-3x}*\frac{7x-y}{y}=\frac{7x-y}{y-3x}$$
Выразим в (5): $$m=\frac{(y-3x)(1+\frac{7x-y}{y-3x})}{3x}=$$$$\frac{y-3x+7x-y}{3x}=\frac{4x}{3x}=\frac{4}{3}$$