(C6) Геометрическая задача повышенной сложности
Задание 2976
Одна из боковых сторон трапеции перпендикулярна основаниям и равна $$4$$. На этой стороне как на диаметре построена окружность, которая делит другую боковую сторону на три отрезка. Отношение длин этих отрезков равно $$1:2:2$$ (считая от верхнего основания). Найдите площадь трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$ND=MN=2x\Rightarrow$$ $$CM=x$$; $$AB=4$$. Пусть $$CH\left | \right |AB\Rightarrow$$ $$CH=4$$, $$BC=AH=y$$. По т. Пифагора из $$\Delta CDH$$: $$HD=\sqrt{CD^{2}-CH^{2}}=\sqrt{25x^{2}-16}$$
2) По свойству касательной и секущей : $$\left\{\begin{matrix}BC^{2}=CM*CN\\AD^{2}=DN*DM\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y^{2}=x*3x\\(y+\sqrt{25x^{2}-16})^{2}=2x*4x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y=x\sqrt{3}\\y^{2}+25x^{2}-16+2y\sqrt{25x^{2}-16}=8x^{2}(1)\end{matrix}\right.$$
Рассмотрим (1): $$25x^{2}+3x^{2}-8x^{2}+2x\sqrt{3}*\sqrt{25x^{2}-16}=16\Leftrightarrow$$$$2 x\sqrt{3}\sqrt{25x^{2}-16}=16-20x^{2}\Leftrightarrow$$$$x\sqrt{3}\sqrt{25x^{2}-16}=8-10x^{2}\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}3x^{2}(15x^{2}-16)=(8-10x^{2})^{2}(2)\\8-10 x^{2}\geq 0(3)\end{matrix}\right.$$
Рассмотрим (2): $$75x^{4}-8x^{2}=64-160x^{2}+100x^{4}\Leftrightarrow$$ $$25x^{2}-112x^{2}+64=0\Rightarrow$$ $$D=6144=32^{2}*6$$
Тогда: $$\left\{\begin{matrix}x_{1}^{2}=\frac{112+32\sqrt{6}}{50} \in (3)\\x_{2}^{2}=\frac{112-32\sqrt{6}}{50}=\frac{56-16\sqrt{6}}{25}=(\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{5})^{2}\end{matrix}\right.$$
3) Площадь $$S=\frac{BC+AD}{2}*CH=$$$$\frac{y+y+\sqrt{25x^{2}-16}}{2}*4=$$$$2(2y+\sqrt{25x^{2}-16})$$
1) $$\sqrt{25x^{2}-16}=\sqrt{25*\frac{56-16\sqrt{6}}{25}-16}=$$$$\sqrt{40-16\sqrt{6}}=\sqrt{(2\sqrt{6}-4)^{2}}=$$$$\left | 2\sqrt{6}-4 \right |=2\sqrt{6}-4$$
2) $$2y=2*x\sqrt{3}=2\sqrt{3}*\left | \frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{5} \right |=$$$$2\sqrt{3}*\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{5}=$$$$\frac{24-4\sqrt{6}}{5}$$
$$S=2(\frac{24-4\sqrt{6}}{5}+2\sqrt{6}-4)=$$$$\frac{2}{5}*(24-4\sqrt{6}+10\sqrt{6}-20)=$$$$\frac{2}{5}(6\sqrt{6}+4)=\frac{4(2+3\sqrt{6})}{5}$$
Задание 2762
Окружность касается сторон $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ в точках $$A$$ и $$B$$ соответственно. На дуге этой окружности, лежащей вне треугольника, расположена точка $$K$$ так, что расстояния от неё до продолжений сторон $$AC$$ и $$BC$$ равны $$39$$ и $$156$$ соответственно. Найдите расстояние от точки $$K$$ до прямой $$AB$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1295
Окружность радиуса $$4$$ касается внешним образом второй окружности в точке $$B$$. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку $$B$$ пересекает некоторой другой их общей касательной в точке $$A$$. Найдите радиус второй окружности, если $$AB=6$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4233
Окружность с центром на стороне $$AC$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ ($$AB=BC$$) касается сторон $$AB$$ и $$BC$$, а сторону $$AC$$ делит на три равные части. Найти радиус окружности, если площадь треугольника $$ABC$$ равна $$9\sqrt{2}$$
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2853
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник $$ABC$$ касается катетов $$AC$$ и $$BC$$ в точках $$L$$ и $$K$$ соответственно. $$AL=12$$ см, $$BK=8$$ см. Найдите площадь треугольника $$BOM$$, где $$O$$ – центр вписанной в треугольник окружности, $$M$$ – точка пересечения медиан треугольника $$ABC$$.
1) Пусть окружжность окружность касается AB в точке H. По свойству касательных: CL=CK=x, KB=BH=8, AL=AH=12. Тогда AC=12+x, BC=8+x, AB=20. Тогда по теореме Пифагора: $$(12+x)^{2}+(8+x)^{2}=20^{2}\Leftrightarrow$$$$x=4$$
2) Так как $$OK\perp BC, OL\perp AC$$ (радиус проведенный в точку касания) и $$OK=OL$$, то CLOK - квадрат, следовательно, OK=4
3) Пусть OB пересекает AC в точке R, тогда треугольники RCB и OKB подобны (прямоугольные с общим острым углом) и $$\frac{RC}{OK}=\frac{CB}{KB}=\frac{3}{2}$$. Тогда RC=6
4) $$S_{RCB}=\frac{1}{2}RC*CB=36$$, $$S_{DCB}=\frac{1}{2}DC*CB=48$$, тогда $$S_{DRB}=48-36=12$$
5) $$\frac{DM}{MB}=\frac{1}{2}$$ (по свойству медианы), но из подобия RCB и OKB: $$\frac{RO}{OB}=\frac{1}{2}$$, а так как угол DBR - общий, то треугольники MOB и DRB - подобны, и $$S_{MOB}=(\frac{MB}{DB})^{2}S_{DRB}=(\frac{2}{3})^{2}*12=\frac{16}{3}$$
Задание 3617
Основание $$AC$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ равно $$12$$. Окружность радиуса $$8$$ с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания $$AC$$ в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$.
Задание 3070
Продолжение сторон $$AD$$ и $$BC$$ выпуклого четырехугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$M$$, а продолжения сторон $$AB$$ и $$CD$$ – в точке $$O$$. Отрезок $$MO$$ перпендикулярен биссектрисе угла $$AOD$$. Найдите отношение площадей треугольника $$AOD$$ и четырехугольника $$ABCD$$, если $$AO=12$$, $$OD=8$$, $$CD=2$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
A) 1) Пусть C между O и D. Проведем через $$A n\left | \right |OM$$: $$P=CD\cap n$$; $$Q=OL\cap n$$; $$T=CB\cap n$$
2) $$OQ\perp OM$$; $$OM\left | \right |AP\Rightarrow$$ $$OQ\perp AP\Rightarrow$$ OQ - высота и биссектриса $$\Rightarrow$$ $$\Delta AOP$$ – равнобедренны $$\Rightarrow$$ $$OP=OA=12$$; $$PD=OP-PD=12-8=4$$
3) $$\Delta MDO\sim \Delta ADP$$: $$\frac{OM}{AP}=\frac{OD}{DP}\Rightarrow$$ $$OM=\frac{AP*OD}{DP}=2 AP$$; $$\Delta PCT\sim OCM$$: $$\frac{OM}{PT}=\frac{OC}{PC}\Rightarrow$$ $$PT=\frac{MO*PC}{OC}=MO=2 AP$$$$\Rightarrow$$ $$AT=AP$$; $$OM=2 AT$$; $$\Delta MBD\sim \Delta TBA$$: $$\frac{OB}{AB}=\frac{MO}{AT}=\frac{2}{1}$$
4) Пусть $$S_{AOD}=S\Rightarrow$$ $$S_{BOC}=\frac{OB}{AO}*\frac{OC}{OD}S=$$$$\frac{2}{3}*\frac{6}{8}S=\frac{S}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$S_{ABCD}=S_{AOD}-S_{BOC}=\frac{S}{2}\Rightarrow$$ $$\frac{S_{AOD}}{S_{ABCD}}=\frac{S}{\frac{S}{2}}=\frac{2}{1}$$
Б) 1) Пусть D располагается между O и C. Проведем через $$B n\left | \right |OM$$: $$OL\cap n=Q$$; $$OC\cap n=P$$; $$OA\cap n=T$$
2) Аналогично (A) $$\Delta OBP$$ – равнобедренный. Пусть $$AB=x\Rightarrow$$ $$OB=12+x$$ ; $$OP=PB=12+x=8+2+CP\Rightarrow$$ $$CP=x+2$$
3) $$\Delta BCP\sim \Delta COM$$: $$\frac{PB}{OM} =\frac{CP}{OC}\Rightarrow$$ $$BP=\frac{OM(x+2)}{10}$$; $$\Delta TPC\sim \Delta ODM$$: $$\frac{TP}{OM}=\frac{DP}{OD}\Rightarrow$$ $$TP=\frac{OM(x+4)}{8}$$; $$TB=TP-BP=OM(\frac{x+12}{40})$$; $$\Delta TBA\sim \Delta AOM$$: $$\frac{TB}{OM}=\frac{AB}{AO}\Rightarrow$$ $$\frac{x+12}{40}=\frac{x}{12}\Leftrightarrow$$ $$40x=12(x+12)\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{36}{7}\Rightarrow$$ $$OB=12+\frac{36}{7}=\frac{120}{7}$$
4) Пусть $$S_{BOC}=S\Rightarrow$$ $$S_{AOD}=\frac{AO}{OB}*\frac{OD}{OC}S=$$$$\frac{12}{120}*\frac{8}{10}S=$$$$\frac{56}{100}S\Rightarrow$$ $$S_{ABCD}=S-\frac{56}{100}S=\frac{44}{100}S$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{S_{AOD}}{S_{ABCD}}=$$$$\frac{56}{100}S:\frac{44}{100}S=\frac{14}{11}$$
Задание 4331
Прямая пересекает стороны $$AB$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$ в точках $$P$$ и $$M$$ соответственно. Найдите отношение площади треугольника $$AMP$$ к площади четырехугольника $$MCBP$$, если $$AP:PB=5:4$$, $$AM:MC=3:5$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}9x\cdot 8y\cdot \sin \alpha =36xy\sin \alpha$$ 2) $$S_{APM}=\frac{1}{2}AP\cdot AM\cdot \sin A=\frac{1}{2}5x\cdot 3y\cdot \sin \alpha =7,5xy\sin \alpha$$ 3) $$S_{PBCM}=S_{ABC}-S_{APM}=36xy\sin \alpha-7,5xy\sin \alpha=28,5xy\sin \alpha$$ 4) $$\frac{S_{AMP}}{S_{MCBP}}=\frac{7,5xy\sin \alpha}{28,5xy\sin \alpha}=\frac{75}{285}=\frac{15}{57}=\frac{5}{19}$$
Задание 1698
Середина $$M$$ стороны $$AD$$ выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $$AD$$, если $$BC=19$$, а углы $$B$$ и $$C$$ четырёхугольника равны соответственно $$95^{\circ}$$ и $$115^{\circ}$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
