(C4) Геометрическая задача на вычисление
Задание 2953
Основания трапеции равны $$4$$ см и $$16$$ см. Найдите ее площадь, если известно, что в трапецию можно вписать и вокруг нее можно описать окружность
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Если около нее можно описать окружность , то это равнобедренная трапеция.
2) Если в нее можно вписать окружность, то сумма боковых сторон равна сумме оснований.
3) С учетом (1) и (2): $$AB=CD=\frac{4+16}{2}=10$$
4) Пусть $$CH\perp AD\Rightarrow$$ $$HD=\frac{AD-BC}{2}=\frac{16-4}{2}=6$$
5) по т . Пифагора из $$\Delta CHD$$: $$CH=\sqrt{CD^{2}-HD^{2}}=8$$
6) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*CH=10*8=80$$
Задание 3908
Основания трапеции равны $$6$$ см и $$18$$ см. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям, до пересечения с боковыми сторонами. Найдите длину отрезка этой прямой.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$\bigtriangleup BOC\sim\bigtriangleup AOD$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{OC}{AO}=\frac{BC}{AD}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$$
2) т.к. $$\bigtriangleup AOM\sim\bigtriangleup ABC$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{MO}{BC}=\frac{AO}{AC}$$; $$\frac{AO}{AC}=\frac{AO}{AO+OC}$$; $$OC=\frac{1}{3}AO$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{AO}{AO+OC}=\frac{AO}{AO+\frac{1}{3}AO}=\frac{3}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$MO=\frac{3}{4}BC=4,5$$
3) т.к. $$\bigtriangleup OCN\sim\bigtriangleup ACD$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{ON}{AD}=\frac{OC}{AC}$$; $$\frac{OC}{AC}=\frac{OC}{OC+3OC}=\frac{1}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$ON=\frac{1}{4}AD=4,5$$ $$\Rightarrow$$ $$MN=9$$
Задание 1873
Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $$CD$$, если $$AB=24$$, а расстояния от центра окружности до хорд $$AB$$ и $$CD$$ равны соответственно $$16$$ и $$12$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1037
Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $$CD$$, если $$AB=20$$, $$CD=48$$, а расстояние от центра окружности до хорды $$AB$$ равно $$24$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3682
Периметр прямоугольника равен $$56$$, а диагональ равна $$27$$. Найдите площадь этого прямоугольника.
1) Пусть $$AD=x$$, $$DC=y$$, тогда $$2(x+y)=56$$ $$\star$$
2) $$\bigtriangleup ADC$$ - прямоугольный $$\Rightarrow$$ $$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$$. С учетом $$\star$$: $$\left\{\begin{matrix}x+y=28&\\x^{2}+y^{2}=27^{2}&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=784&\\x^{2}+y^{2}=729^{2}&\end{matrix}\right.$$ Подставим из второго в первое: $$729+2xy=784$$ $$\Rightarrow$$ $$2xy=55$$ $$\Rightarrow$$ $$xy=27,5$$
Задание 3027
Перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на его диагональ, делит ее на отрезки длиной $$6$$ и $$15$$ см. Найти длины сторон параллелограмма, если одна из них на $$7$$ см больше другой
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$BH \perp AC$$ и AH=6 , тогда HC=15/ Пусть AB=x, тогда BC=x+7
2) из $$\Delta ABH$$: $$BH^{2}=AB^{2}-AH^{2}=x^{2}-36$$
3) из $$\Delta BHC$$: $$BH^{2}+HC^{2}=BC^{2}\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-36+225=(x+7)^{2}\Leftrightarrow$$ $$x=10=AB\Rightarrow$$ $$BC=17$$
Задание 3242
Площадь равнобедренного треугольника с острым углом при вершине равна $$48$$, а боковая сторона равна $$10$$. Найдите высоту, опущенную на основание.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$S=\frac{1}{2}AB*BC *\sin B\Rightarrow$$ $$\sin B=\frac{2S}{AB^{2}}=$$$$\frac{2*48}{100}=0,96\Rightarrow$$ $$\cos B=\sqrt{1-0,96^{2}}=0,28$$
2) $$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2AB*BC\cos B}=$$$$\sqrt{10^{2}+10^{2}-2*10*10*0,28}=12$$$$\Rightarrow HC=6$$
3) из $$\Delta BHC$$: $$BH=\sqrt{BC^{2}-HC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$$
Задание 4053
Площадь равнобедренной трапеции равна $$96$$. Диагональ трапеции делит её тупой угол пополам. Длина меньшего основания равна $$3$$. Найдите периметр трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Построим рисунок согласно условию задачи.
Задание 2574
Прямая $$AD$$, перпендикулярная медиане $$BM$$ треугольника $$ABC$$, делит её пополам. Найдите сторону $$AB$$, если $$AC=10$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2687
Прямая $$AD$$, перпендикулярная медиане $$BM$$ треугольника $$ABC$$, делит её пополам. Найдите сторону $$AC$$, если сторона $$AB$$ равна $$4$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1935
Прямая пересекает стороны $$AB$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ в точках $$K$$ и $$N$$ соответственно. Известно, что $$AB=CN=16$$, $$BC=20$$, $$AC=28$$, $$AK=11$$. Найдите длину отрезка $$KN$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3681
Прямая, параллельная основаниям $$MP$$ и $$NK$$ трапеции $$MNKP$$, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны $$MN$$ и $$KP$$ в точках $$A$$ и $$B$$ соответственно. Найдите длину отрезка $$AB$$, если $$MP=40$$ см, $$NK=24$$ см.
1) Пусть $$NP\cap MK=H$$; $$NK\parallel MP$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup NHK\sim\bigtriangleup MHP$$; $$\frac{NK}{MP}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}=\frac{NH}{HP}=\frac{HK}{HM}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{MK}{MN}=\frac{8}{5}=\frac{NP}{HP}$$
2) $$AB\parallel NK$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AHM\sim\bigtriangleup MNK$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{NK}{AH}=\frac{MK}{MH}=\frac{8}{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$AH=\frac{24\cdot5}{8}=15$$. Аналогично $$\bigtriangleup HBP\sim\bigtriangleup NKP$$ и $$\frac{NK}{HB}=\frac{NP}{HP}=\frac{8}{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$HB=15$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=30$$
Задание 1415
Прямая, параллельная основаниям трапеции $$ABCD$$, пересекает её боковые стороны $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$E$$ и $$F$$ соответственно. Найдите длину отрезка $$EF$$, если $$AD=35$$, $$BC=21$$, $$CF:DF=5:2$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
