(C4) Геометрическая задача на вычисление

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1)AC-биссектриса $$\Rightarrow \angle BCA=\angle DCA;$$

$$\angle DAC=\angle BCA$$(накрест)$$\Rightarrow \angle DCA=\angle DAC\Rightarrow AD=CD=5;$$

2)$$CH||AB\Rightarrow AH=BC=x\Rightarrow HD=5-x$$ $$CH=3*x \Rightarrow \Delta CHD:5^{2}=\left ( 5-x \right )^{2}+3*x ^{2};$$

$$25=25-10x +x ^{2}+9x ^{2}\Rightarrow$$ $$10x ^{2}-10x =0\Rightarrow$$ $$10x \left ( x -1 \right )=0\Rightarrow$$$$x =0; x =1;$$

3)$$S=\frac{5+1}{2}*3=9;$$

Пусть BH — высота.

$$AH=8$$ и $$CH=9$$

Высота AL пересекает высоту BH в точке K:

$$BK=KH=x$$

Треугольники $$\Delta AKH, \Delta BLK$$ и $$\Delta BCH$$ подобные.

Они прямоугольные в $$\Delta AKH, \Delta BLK$$ т.к. углы $$AKH$$ и $$BKL$$ равны как вертикальные,

а $$\Delta BLK, \Delta BCH$$ имеют общий угол $$B.$$

$$\frac{KH}{AH}=\frac{CH}{BH}$$

$$\frac{x}{8}=\frac{9}{2x}$$

$$x\cdot 2x=9\cdot8$$

$$2x^2=72$$

$$x^2=36$$

$$x=6$$

$$BK=KH=6$$

$$BH=12$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) Пусть $$AH=y\Rightarrow HC=14-y$$, $$AB=x\Rightarrow BC=28-x$$

     2) $$\Delta ABH$$: $$12^{2}+y^{2}=x^{2}(1)$$

$$\Delta BHC$$: $$12^{2}+(14-y)^{2}=(28-x)^{2}\Leftrightarrow$$$$144+196-28y+y^{2}=784-56x+x^{2}\Leftrightarrow$$$$444-56x+28y+x^{2}-y^{2}=0$$

Из (1): $$x^{2}-y^{2}=144$$, подставим во второе: $$28y-56x+444+144=0 |:28\Leftrightarrow$$$$y-2x=-21\Leftrightarrow$$ $$y=2x-21$$

Подставим в (1) : $$144+(2x-21)^{2}-x^{2}=0\Leftrightarrow$$$$144+4x^{2}-84x+441-x^{2}=0\Leftrightarrow$$$$3x^{2}-84x+585=0 |:3\Leftrightarrow$$$$x^{2}-28x+195=0$$

D=784-780=4

$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{28+2}{2}=15=AB\\x_{2}=\frac{28-2}{2}=13=AB\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}BC=28-15=13\\BC=18-13=15\end{matrix}\right.$$

Тогда: AB=15 и BC=13 ( или наоборот)

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) $$BC\parallel AD$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BCO=\angle OAD$$; $$\angle CBO=\angle ODA$$ (накрестлежащие) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BOC\sim\bigtriangleup AOD$$

2) $$\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}}=\frac{9}{16}$$ см² $$\Rightarrow$$ $$\frac{BC}{AD}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$$ (отношение площадей подобных фигур) $$\Rightarrow$$ $$BO=3x$$ $$\Rightarrow$$ $$DO=4x$$; $$CO=3y$$ $$\Rightarrow$$ $$AO=4y$$

3) $$\angle BOC=\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BOA=180^{\circ}-\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin\angle BOC=\sin\angle BOA$$ (смежные), $$\angle BOA=\angle COD$$; $$\angle BOC=\angle AOD$$ (вертикальные)

4) $$S_{BOA}=\frac{1}{2}\cdot BO\cdot OA\cdot\sin\angle BOA=\frac{1}{2}\cdot3x\cdot4y\cdot\sin\alpha=6xy\sin\alpha$$; $$S_{COD}=\frac{1}{2}\cdot CO\cdot OD\cdot\sin\angle COD=\frac{1}{2}\cdot3y\cdot4x\cdot\sin\alpha=6xy\sin\alpha=S_{BOA}$$; $$S_{BOC}=\frac{1}{2}\cdot BO\cdot OC\cdot\sin\angle BOC=\frac{1}{2}\cdot3x\cdot3y\cdot\sin\alpha=9$$ $$\Rightarrow$$ $$xy\sin\alpha=2$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{BOA}=S_{COD}=12$$

5) $$S_{ABCD}=9+2\cdot12+16=49$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) Построим медиану в $$\Delta DOC$$: $$DL=LC=\frac{CD}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$DL=AK$$, но $$DL\left | \right |AK$$$$\Rightarrow$$ $$AKLD$$ - параллелограмм $$\Rightarrow$$ $$AD=KL$$

     2) $$\Delta KBO=\Delta ODL$$ ($$DC=KB$$; $$\angle BKO=\angle OLD$$; $$\angle KDO=\angle ODC$$ (накрест лежащие)) $$\Rightarrow$$ $$KO=OL=4$$

     3) $$P=(6+8)*2=18$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1. $$\angle BAC=\angle CAD$$ (AC - биссектрисса)
2. $$\angle CAD=\angle BCA$$ (накрест лежащие при параллельных), следовательно треугольник ABC - равнобедренный и $$AB=BC=CD=5$$
3. Проведем перпендикуляры BM и CH к AD. Из треугольника CHD: $$HD=\sqrt{CD^{2}-CH^{2}}=\sqrt{5^{2}-4,8^{2}}=1,4$$
4. $$AM=HD=1,4$$, тогда $$AD=5+1,4*2=7,8$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) $$\angle H=180^{\circ}-\angle A-\angle D=180^{\circ}-60^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$

$$\bigtriangleup AHD$$ - прямоугольный $$\Rightarrow$$

HL - медиана; HL=AL=LP

2) $$KZ=ZL=1,5$$; $$MZ=ZN=2,5$$

Пусть $$KC=x$$; $$LD=y$$ $$\Rightarrow$$ $$KH=HL-KL=y-3$$

3) $$\bigtriangleup HZN\sim \bigtriangleup HLD$$: $$\frac{HZ}{HL}=\frac{ZN}{LD}$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\frac{y-1,5}{y}=\frac{2,5}{y}$$ 

$$y^{2}-1,5y=2,5y$$

$$y^{2}-4y=0$$

$$y=0$$ (не подходит) и $$y=4$$ $$\Rightarrow$$

$$AD=2\cdot4=8$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) $$OB\perp AB$$ и $$OC\perp CA$$ (свойство радиусов в точку касания), ОА - общая, $$AC=AB$$ по условию $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup OBA=\bigtriangleup OAC$$

2) $$\bigtriangleup ABH=\bigtriangleup AHC$$ (АH - общая; $$\angle BAH=\angle HAC$$; $$AB=AC$$) $$\Rightarrow$$ $$BH=HC$$ и $$BC\perp OA$$ $$\Rightarrow$$ $$BH=HC=0,5BC=14,4\cdot0,5=7,2$$

3) По теореме Пифагора $$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{12^{2}-7,2^{2}}=\sqrt{92,16}=9,6$$

4) из $$\bigtriangleup BHA\sim \bigtriangleup BOA$$: $$\frac{HA}{AB}=\frac{BH}{OB}$$ $$\Rightarrow$$ $$OB=\frac{AB\cdot BH}{HA}=\frac{12\cdot7,2}{9,6}=9$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!