Четырёхугольники

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть ABCD  — данный четырёхугольник, O  — середина стороны AB, K  — середина стороны BC, P  — середина стороны CD, H  — середина стороны DA. Проведём диагонали AC и BD и отрезки OK, KP, PH и HO, последовательно соединяющие середины сторон четырёхугольника. Тогда, по свойству средней линии треугольника, отрезки OK и PH параллельны диагонали AC и равны её половине, а отрезки KP и HO параллельны диагонали BD и равны её половине. Поэтому OKPH  — параллелограмм. А так как, по условию задачи, его диагонали KH и OP равны, то OKPH  — прямоугольник, и угол OKP— прямой. Отсюда следует, что и угол между диагоналями AC и BD тоже прямой, и, следовательно, площадь четырёхугольника ABCD будет равна половине произведения его диагоналей, то есть $$\frac{1}{2}\cdot8\cdot5=20$$.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1. Проведем из точки $$C$$ прямую, параллельную $$BD$$, пусть она пересекает $$AD$$ в точке $$K$$.
2. $$BC\parallel DK ; BD\parallel CK \Rightarrow BCKD-$$ параллелограмм и $$BC=DK$$, $$BD=CK$$, $$AK=AD+DK=AD+BC$$.
3. $$AD+BC=3\cdot 2=6$$ (удвоенная средняя линия)
4. Пусть $$CH\perp AD: S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2} \cdot CH=\frac{1}{2} \cdot AK \cdot CH=S_{ACK}$$.
5. $$p_{ACK}=\frac{10+8+6}{2}=12$$ По формуле Герона: $$S_{ACK}=\sqrt{12(12-10)(12-8)(12-6)}=\sqrt{12 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6}=\sqrt{12^2 \cdot 2^2}=24$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1. Пусть BH-высота, тогда BH=2ч=4
2. из $$\Delta ABH$$: $$AB=BH \sin A=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8=CD$$
3. т.к. $$AB+CD=BC+AD$$(свойство описанного выпуклого четырехугольника) , то $$BC+AD=16$$, тогда средняя линия $$\frac{16}{2}=8$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) По свойству радиусов .проведенных в точку касания, диаметр и высота трапеции одинаковы, тогда, из треугольника CND по теореме Пифагора: $$ND=\sqrt{CD^{2}-CN^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=8=AK$$

2) По свойству четырехугольника, описанного около окружности имеем, что $$BC+AD=AB+CD$$. Пусть $$BC=KN=x$$, тогда $$x+8+x+8=17+17$$, тогда $$x=9$$, следовательно, $$AD=8+9+8=25$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Пусть $$AB=18$$; $$DC=8$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=CB=\frac{56-(18+8)}{2}=15$$

2) Пусть $$CH$$ и $$DM\perp AB$$ $$\Rightarrow$$ $$MN=DC=8$$; $$AD=CB$$; $$DM=CH$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AMD=\bigtriangleup CHB$$ (по гипотенузе и катету) $$\Rightarrow$$ $$AM=HB=\frac{18-8}{2}=5$$

3) $$CH=\sqrt{CB^{2}-HB^{2}}=\sqrt{15^{2}-5^{2}}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$$

4) $$S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot CH=\frac{18+8}{2}\cdot10\sqrt{2}=130\sqrt{2}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) Если около нее можно описать окружность , то это равнобедренная трапеция.

     2) Если в нее можно вписать окружность, то сумма боковых сторон равна сумме оснований.

     3) С учетом (1) и (2): $$AB=CD=\frac{4+16}{2}=10$$

     4) Пусть $$CH\perp AD\Rightarrow$$ $$HD=\frac{AD-BC}{2}=\frac{16-4}{2}=6$$

     5) по т . Пифагора из $$\Delta CHD$$: $$CH=\sqrt{CD^{2}-HD^{2}}=8$$

     6) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*CH=10*8=80$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) $$\bigtriangleup BOC\sim\bigtriangleup AOD$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{OC}{AO}=\frac{BC}{AD}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$$

2) т.к. $$\bigtriangleup AOM\sim\bigtriangleup ABC$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{MO}{BC}=\frac{AO}{AC}$$; $$\frac{AO}{AC}=\frac{AO}{AO+OC}$$; $$OC=\frac{1}{3}AO$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{AO}{AO+OC}=\frac{AO}{AO+\frac{1}{3}AO}=\frac{3}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$MO=\frac{3}{4}BC=4,5$$

3) т.к. $$\bigtriangleup OCN\sim\bigtriangleup ACD$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{ON}{AD}=\frac{OC}{AC}$$; $$\frac{OC}{AC}=\frac{OC}{OC+3OC}=\frac{1}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$ON=\frac{1}{4}AD=4,5$$ $$\Rightarrow$$ $$MN=9$$

1) Пусть $$AD=x$$, $$DC=y$$, тогда $$2(x+y)=56$$ $$\star$$

2) $$\bigtriangleup ADC$$ - прямоугольный $$\Rightarrow$$ $$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$$. С учетом $$\star$$: $$\left\{\begin{matrix}x+y=28&\\x^{2}+y^{2}=27^{2}&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=784&\\x^{2}+y^{2}=729^{2}&\end{matrix}\right.$$ Подставим из второго в первое: $$729+2xy=784$$ $$\Rightarrow$$ $$2xy=55$$ $$\Rightarrow$$ $$xy=27,5$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) Пусть $$BH \perp AC$$ и AH=6 , тогда HC=15/ Пусть AB=x, тогда BC=x+7

     2) из $$\Delta ABH$$: $$BH^{2}=AB^{2}-AH^{2}=x^{2}-36$$

     3) из $$\Delta BHC$$: $$BH^{2}+HC^{2}=BC^{2}\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-36+225=(x+7)^{2}\Leftrightarrow$$ $$x=10=AB\Rightarrow$$ $$BC=17$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Построим рисунок согласно условию задачи.

1) Пусть $$NP\cap MK=H$$; $$NK\parallel MP$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup NHK\sim\bigtriangleup MHP$$; $$\frac{NK}{MP}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}=\frac{NH}{HP}=\frac{HK}{HM}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{MK}{MN}=\frac{8}{5}=\frac{NP}{HP}$$

2) $$AB\parallel NK$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AHM\sim\bigtriangleup MNK$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{NK}{AH}=\frac{MK}{MH}=\frac{8}{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$AH=\frac{24\cdot5}{8}=15$$. Аналогично $$\bigtriangleup HBP\sim\bigtriangleup NKP$$ и $$\frac{NK}{HB}=\frac{NP}{HP}=\frac{8}{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$HB=15$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=30$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!