(C2) Текстовые задачи
Задание 2339
Баржа прошла по течению реки $$56$$ км и, повернув обратно, прошла ещё $$54$$ км, затратив на весь путь $$5$$ часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна $$5$$ км/ч.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 435
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $$A$$ в город $$B$$, расстояние между которыми равно $$112$$ км. На следующий день он отправился обратно в $$A$$, увеличив скорость на $$9$$ км/ч. По пути он сделал остановку на $$4$$ часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $$A$$ в $$B$$. Найдите скорость велосипедиста на пути из $$B$$ в $$A$$.
Задание 4377
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $$A$$ в город $$B$$, расстояние между которыми равно $$180$$ км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на $$8$$ км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на $$8$$ часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $$A$$ в $$B$$. Найдите скорость велосипедиста на пути из $$A$$ в $$B$$. Ответ дайте в км/ч.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Пусть х - скорость первого дня
$$\frac{180}{x}-\frac{180}{x+8}=8$$
$$\frac{22,5}{x}-\frac{22,5}{x+8}=1$$
$$22,5x+180-22,5x=x^{2}+8x$$
$$x^{2}+8x-180=0$$ $$D=64+720=784$$
$$x_{1}=\frac{-8+28}{2}=10$$
$$x_{2}<0$$
Задание 4589
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось $$1$$ км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг $$20$$ минут назад. Найдите скорость (в км/ч) первого бегуна, если известно, что она на $$8$$ км/ч меньше скорости второго.
Пусть х км/ч - скорость первого, тогда х+8 км/ч - скорость второго. Пусть у км - один круг, тогда: за час первый не дошел до конца круга 1 км, следовательно, $$1*x=y-1$$ второй прошел круг за 20 минут до часа, то есть за 40 минут ($$\frac{2}{3}$$ часа), следовательно, $$\frac{2}{3}*(x+8)=y$$. Подставим из второго уравнения в первое выражение вместо у: $$x=\frac{2}{3}(x+8)-1|*3\Leftrightarrow$$$$3x=2x+16-3\Leftrightarrow$$$$x=13$$ км/ч - скорость первого
Задание 4593
Два велосипедиста одновременно отправились в $$60$$ - километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на $$10$$ км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на $$3$$ час раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
Путь х км/ч - скорость второго, тогда х+10 км/ч - скорость первого, тогда, время первого $$t_{1}=\frac{60}{x+10}$$ часов, $$t_{2}=\frac{60}{x}$$ часов - время второго. При этом второй ехал на 3 часа дольше, то есть : $$\frac{60}{x}-\frac{60}{x+10}=3|*\frac{x(x+10)}{3}\Leftrightarrow$$$$20x+200-20x=x^{2}+10x\Leftrightarrow$$$$x^{2}+10x-200=0\Rightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-10\\x_{1}*x_{2}=-200 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=-20\\x_{2}=10\end{matrix}\right.$$. Скорость не может быть отрицательной, следовательно, скорость второго составляла 10 км/ч.
Задание 476
Из $$A$$ в $$B$$ одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью $$55$$ км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на $$6$$ км/ч, в результате чего прибыл в $$B$$ одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.
Задание 983
Из $$A$$ в $$B$$ одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на $$11$$ км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью $$66$$ км/ч, в результате чего прибыл в $$B$$ одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость (в км/ч) первого автомобилиста, если известно, что она больше $$40$$ км/ч.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Пусть х км/ч - скорость первого, тогда х-11 км/ч - скорость второго на первой половине пути. Примем все расстояние за S км. Тогда, $$t_{1}=\frac{S}{x}$$ часов - время первого, $$t_{2}=\frac{0,5S}{x-11}+\frac{0,5S}{66}$$ часов - время второго. Велосипедисты прибыли одновременно, следовательно: $$\frac{S}{x}=\frac{0,5S}{x-11}+\frac{0,5S}{66}|:S\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{x}=\frac{0,5}{x-11}+\frac{0,5}{66}|*66x(x-11)\Leftrightarrow$$$$66(x-11)=33x+0,5x(x-11)|*2\Leftrightarrow$$$$132x-132*11=66x+x^{2}-11x\Leftrightarrow$$$$x^{2}-77x+1452=0\Rightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=77\\x_{1}*x_{2}=1452\end{matrix}\right.\Rightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=33\\x_{2}=44\end{matrix}\right.$$, скорость должна быть более 40 км/ч, то есть 44 км/ч
Задание 4594
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на $$30$$ минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет $$144$$ км, скорость первого велосипедиста равна $$24$$ км/ч, скорость второго — $$28$$ км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи
Пусть t часов - время, через которые встретились велосипедисты с момента выезда, тогда время движения второго и есть t, а время движения первого $$t-\frac{1}{2}$$ часа. Тогда первый пройдет расстояние $$s_{1}=24*(t-\frac{1}{2})$$ км, а второй пройдет $$s_{2}=28t$$ км, что в сумме даст общее расстояние в 144 км: $$24t-12+28t=144\Leftrightarrow$$$$52t=156\Leftrightarrow$$$$t=3$$ часа двигался второй. Тогда расстояние, им пройденное, составит $$3*28=84$$ км
Задание 4610
Имеются два сосуда, содержащие $$30$$ кг и $$20$$ кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий $$81 \%$$ кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать $$83 \%$$ кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?
Пусть х (в долях) - концентрация первого, тогда 30х кг - масса кислоты в нем. Пусть у - концентрация второго, тогда 20у кг - масса кислоты в нем. В первом случае масса нового 50 кг, а кислоты в нем 0,81*50 кг, во втором - 60 кг (взяли по 30 кг), а кислоты в нем 0,83*60 кг. Тогда: $$\left\{\begin{matrix}30x+20y=0,81*50\\ 30x+30y=0,83*60\end{matrix}\right.$$ Вычтем из второго уравнения первое: $$10y=49,8-40,5=9,3|:10\Leftrightarrow$$$$y=0,93$$ - концентрация второго. Тогда кислоты в нем: $$0,93*20=18,6$$ кг.
Задание 1814
Имеются два сосуда, содержащие $$4$$ кг и $$16$$ кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий $$57 \%$$ кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать $$60 \%$$ кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2494
Моторная лодка прошла против течения реки $$132$$ км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на $$5$$ часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна $$5$$ км/ч.
Пусть скорость лодки х км/ч. Тогда скорость против течения будет х-5 км/ч. а по течению х+5 км/ч
По условию на обратный путь затрачено на 5 часов меньше, тогда: $$\frac{132}{x-5}-\frac{132}{x+5}=5$$
Приведем к общему знаменателю: $$\frac{132(x+5)-132(x-5)}{x^2-25}=5$$
Задание 2025
Первая труба пропускает на $$8$$ литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом $$180$$ литров она заполняет на $$8$$ минут дольше, чем вторая труба?
Задание 4587
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью $$55$$ км/ч, а вторую половину – со скоростью $$70$$ км/ч. Найдите среднюю скорость (в км/ч) автомобиля на протяжении всего пути.
Пусть 2у км - длина всей трассы, тогда время на первую половину $$t_{1}=\frac{y}{55}$$ часов, а время на вторую $$t_{2}=\frac{y}{70}$$ часов, тогда общее время $$t=\frac{y}{55}+\frac{y}{70}=\frac{14y+11y}{5*11*14}=\frac{5y}{11*14}$$ часов. Следовательно, средняя скорость составит: $$\frac{2y}{\frac{5y}{11*14}}=61,6$$ км/ч