Задание 3070
Задание 3070
Продолжение сторон $$AD$$ и $$BC$$ выпуклого четырехугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$M$$, а продолжения сторон $$AB$$ и $$CD$$ – в точке $$O$$. Отрезок $$MO$$ перпендикулярен биссектрисе угла $$AOD$$. Найдите отношение площадей треугольника $$AOD$$ и четырехугольника $$ABCD$$, если $$AO=12$$, $$OD=8$$, $$CD=2$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
A) 1) Пусть C между O и D. Проведем через $$A n\left | \right |OM$$: $$P=CD\cap n$$; $$Q=OL\cap n$$; $$T=CB\cap n$$
2) $$OQ\perp OM$$; $$OM\left | \right |AP\Rightarrow$$ $$OQ\perp AP\Rightarrow$$ OQ - высота и биссектриса $$\Rightarrow$$ $$\Delta AOP$$ – равнобедренны $$\Rightarrow$$ $$OP=OA=12$$; $$PD=OP-PD=12-8=4$$
3) $$\Delta MDO\sim \Delta ADP$$: $$\frac{OM}{AP}=\frac{OD}{DP}\Rightarrow$$ $$OM=\frac{AP*OD}{DP}=2 AP$$; $$\Delta PCT\sim OCM$$: $$\frac{OM}{PT}=\frac{OC}{PC}\Rightarrow$$ $$PT=\frac{MO*PC}{OC}=MO=2 AP$$$$\Rightarrow$$ $$AT=AP$$; $$OM=2 AT$$; $$\Delta MBD\sim \Delta TBA$$: $$\frac{OB}{AB}=\frac{MO}{AT}=\frac{2}{1}$$
4) Пусть $$S_{AOD}=S\Rightarrow$$ $$S_{BOC}=\frac{OB}{AO}*\frac{OC}{OD}S=$$$$\frac{2}{3}*\frac{6}{8}S=\frac{S}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$S_{ABCD}=S_{AOD}-S_{BOC}=\frac{S}{2}\Rightarrow$$ $$\frac{S_{AOD}}{S_{ABCD}}=\frac{S}{\frac{S}{2}}=\frac{2}{1}$$
Б) 1) Пусть D располагается между O и C. Проведем через $$B n\left | \right |OM$$: $$OL\cap n=Q$$; $$OC\cap n=P$$; $$OA\cap n=T$$
2) Аналогично (A) $$\Delta OBP$$ – равнобедренный. Пусть $$AB=x\Rightarrow$$ $$OB=12+x$$ ; $$OP=PB=12+x=8+2+CP\Rightarrow$$ $$CP=x+2$$
3) $$\Delta BCP\sim \Delta COM$$: $$\frac{PB}{OM} =\frac{CP}{OC}\Rightarrow$$ $$BP=\frac{OM(x+2)}{10}$$; $$\Delta TPC\sim \Delta ODM$$: $$\frac{TP}{OM}=\frac{DP}{OD}\Rightarrow$$ $$TP=\frac{OM(x+4)}{8}$$; $$TB=TP-BP=OM(\frac{x+12}{40})$$; $$\Delta TBA\sim \Delta AOM$$: $$\frac{TB}{OM}=\frac{AB}{AO}\Rightarrow$$ $$\frac{x+12}{40}=\frac{x}{12}\Leftrightarrow$$ $$40x=12(x+12)\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{36}{7}\Rightarrow$$ $$OB=12+\frac{36}{7}=\frac{120}{7}$$
4) Пусть $$S_{BOC}=S\Rightarrow$$ $$S_{AOD}=\frac{AO}{OB}*\frac{OD}{OC}S=$$$$\frac{12}{120}*\frac{8}{10}S=$$$$\frac{56}{100}S\Rightarrow$$ $$S_{ABCD}=S-\frac{56}{100}S=\frac{44}{100}S$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{S_{AOD}}{S_{ABCD}}=$$$$\frac{56}{100}S:\frac{44}{100}S=\frac{14}{11}$$
Задание 4154
Продолжение сторон $$KN$$ и $$LM$$ выпуклого четырехугольника $$KLMN$$ пересекаются в точке $$P$$, а продолжения сторон $$KL$$ и $$LM$$ – в точке $$Q$$. Отрезок $$PQ$$ перпендикулярен биссектрисе угла $$KQN$$. Найти длину стороны $$KL$$, если $$KQ=12$$, $$NQ=8$$, а площадь четырехугольника $$KLMN$$ равна площади треугольника $$LQM$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Постороим через К прямую $$m\parallel QP$$
Пусть $$ON\cap m=A$$; $$QB\cap m=B$$ (QB - биссектриса);
$$QL\cap m=K$$; $$PL\cap m=C$$
2) $$\bigtriangleup KAN\sim\bigtriangleup QNP$$; $$QA=QK=12$$ $$\Rightarrow$$
$$AN=AQ-QN=12-8=4$$; $$\frac{AN}{QN}=\frac{AK}{QP}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$
3) Пусть $$QK=xQL$$ $$\Rightarrow$$
$$KL=QK-QL=(x-1)QL$$
$$\bigtriangleup CKL\sim\bigtriangleup QLP$$ $$\Rightarrow$$
$$\frac{CK}{QP}=\frac{KL}{LQ}=\frac{(x-1)LQ}{LQ}$$ $$\Rightarrow$$
$$CK=QP(x-1)$$
4) Пусть $$AQ=yQM$$ $$\Rightarrow$$
$$AM=AQ-QM=yQM-QM=QM(y-1)$$
$$\bigtriangleup CAM\sim\bigtriangleup QMP$$ $$\Rightarrow$$
$$\frac{AC}{PQ}=\frac{AM}{MQ}=\frac{QM(y-1)}{QM}$$ $$\Rightarrow$$
$$AC=PQ(y-1)$$
$$AK=\frac{1}{2}PQ$$
$$AK=AC-CK$$ $$\Rightarrow$$
$$\frac{1}{2}PQ=(y-1)PQ-(x-1)PQ$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{1}{2}=y-1-x+1$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{1}{2}=y-x$$
5) $$S_{\bigtriangleup LQM}=S=\frac{1}{2}QL\cdot QM\cdot\sin Q=\frac{1}{2}\frac{QK}{x}\cdot\frac{AQ}{y}\sin Q$$
$$S_{\bigtriangleup QKN}=2S=\frac{1}{2}QK\cdot QN\cdot\sin Q$$
$$\frac{1}{2}QK\cdot QN\cdot\sin Q=2\cdot\frac{1}{2}\frac{QK}{x}\cdot\frac{AQ}{y}\sin Q$$
$$12\cdot8=2\cdot\frac{12}{x}\cdot\frac{12}{y}\Leftrightarrow$$
$$8=\frac{24}{xy}$$ $$\Leftrightarrow$$
$$xy=3$$
$$\left\{\begin{matrix}y=x+\frac{1}{2}\\xy=3\end{matrix}\right.$$
$$x(x+\frac{1}{2})=3$$
$$x^{2}+\frac{x}{2}-3=0$$
$$2x^{2}+x-6=0$$
$$D=1+48=49$$
$$x_{1}=\frac{-1+7}{4}=\frac{3}{2}$$
$$x_{2}<0$$
6) $$\Rightarrow$$: $$QL=\frac{QK}{\frac{3}{2}}=\frac{12\cdot2}{3}=8$$ $$\Rightarrow$$
$$KL=QK-QL=12-8=4$$