Задание 919
Задание 919
Внутри параллелограмма $$ABCD$$ выбрали произвольную точку $$E$$. Докажите, что сумма площадей треугольников $$AEB$$ и $$CED$$ равна половине площади параллелограмма.
Проведём через точку $$E$$ прямую $$MN \parallel AB$$
Площадь $$\triangle ABE = \frac{1}{2}S_{ABNM}$$ (*)
(*) Докажем это утверждение. Пусть $$EH$$ - высота в треугольнике $$ABE$$. Тогда $$S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot EH$$. Но $$S_{ABNM} = AB \cdot EH$$. Тогда $$S_{ABE}=\frac{1}{2}S_{ABNM}$$.Площадь $$\triangle CED = \frac{1}{2}S_{CNMD}$$
Сумма площадей: $$S_{ABE} + S_{CED} = \frac{1}{2}(S_{ABNM} + S_{CNMD})$$
Но $$S_{ABNM} + S_{CNMD} = S_{ABCD}$$
Таким образом: $$S_{ABE} + S_{CED} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$$
Что и требовалось доказать.
Аналоги к этому заданию:
Задание 144
Внутри параллелограмма $$ABCD$$ выбрали произвольную точку $$N$$. Докажите, что сумма площадей треугольников $$ABN$$ и $$CND$$ равна половине площади параллелограмма.
Проведём через точку $$N$$ прямую $$ML \parallel AB$$
Площадь $$\triangle ABN = \frac{1}{2}S_{ABLM}$$ (*)
(*) Докажем это утверждение. Пусть $$NH$$ - высота в треугольнике $$ABN$$. Тогда $$S_{ABN} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot NH$$. Но $$S_{ABLM} = AB \cdot NH$$. Тогда $$S_{ABN}=\frac{1}{2}S_{ABLM}$$.Площадь $$\triangle CND = \frac{1}{2}S_{CLMD}$$
Сумма площадей: $$S_{ABN} + S_{CND} = \frac{1}{2}(S_{ABLM} + S_{CLMD})$$
Но $$S_{ABLM} + S_{CLMD} = S_{ABCD}$$
Таким образом: $$S_{ABN} + S_{CND} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$$
Что и требовалось доказать.