Треугольники
Задание 3001
В треугольнике $$ABC$$ проведена медиана $$BK$$ и средняя линия $$KE$$, параллельная стороне $$AB$$. Площадь треугольника $$BKE$$ равна 1. Найдите площадь треугольника $$ABC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$S_{BKE}=S_{EKC}$$ (BE=EC,общая вершина ) $$\Rightarrow$$ $$S_{ERC}=1$$
2) $$\frac{S_{EKC}}{S_{ABC}}=(\frac{EK}{AB})^{2}=$$$$\frac{1}{4}\Rightarrow$$ $$S_{ABC} =4$$ (средняя линия равна половине стороны)
Задание 1421
В треугольнике $$ABC$$ угол C равен $$90^{\circ}$$, радиус вписанной окружности равен $$3$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если $$AB=15$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2928
В треугольнике с основанием $$15$$ см проведен отрезок, параллельный основанию. Площадь полученной трапеции составляет $$\frac{3}{4}$$ площади треугольника. Найдите длину этого отрезка.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$A_{1}C_{1}\left | \right |AC$$, тогда $$S_{AA_{1}C_{1}C}=\frac{3}{4} S_{ABC}$$$$\Rightarrow$$ $$S_{A_{1}BC_{1}}=\frac{1}{4} S_{ABC}$$
2) $$\frac{S_{A_{1}BC_{1}}}{S_{ABC}}=$$$$(\frac{A_{1}C_{1}}{AC})^{2}=$$$$\frac{1}{4}\Rightarrow$$ $$\frac{A_{1}C_{1}}{AC}=\frac{1}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$A_{1}C_{1}=7,5$$
Задание 3667
Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами $$8$$ и $$9$$. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит ее пополам.
Пусть BH — высота.
$$AH=8$$ и $$CH=9$$
Высота AL пересекает высоту BH в точке K:
$$BK=KH=x$$
Треугольники $$\Delta AKH, \Delta BLK$$ и $$\Delta BCH$$ подобные.
Они прямоугольные в $$\Delta AKH, \Delta BLK$$ т.к. углы $$AKH$$ и $$BKL$$ равны как вертикальные,
а $$\Delta BLK, \Delta BCH$$ имеют общий угол $$B.$$
$$\frac{KH}{AH}=\frac{CH}{BH}$$
$$\frac{x}{8}=\frac{9}{2x}$$
$$x\cdot 2x=9\cdot8$$
$$2x^2=72$$
$$x^2=36$$
$$x=6$$
$$BK=KH=6$$
$$BH=12$$
Задание 4004
Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, площади которых равны соответственно $$6$$ и $$54$$. Найдите гипотенузу треугольника
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3218
Высота, основание и сумма боковых сторон треугольника равны соответственно $$12$$ см, $$14$$ см, и $$28$$ см. Найдите боковые стороны треугольника
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$AH=y\Rightarrow HC=14-y$$, $$AB=x\Rightarrow BC=28-x$$
2) $$\Delta ABH$$: $$12^{2}+y^{2}=x^{2}(1)$$
$$\Delta BHC$$: $$12^{2}+(14-y)^{2}=(28-x)^{2}\Leftrightarrow$$$$144+196-28y+y^{2}=784-56x+x^{2}\Leftrightarrow$$$$444-56x+28y+x^{2}-y^{2}=0$$
Из (1): $$x^{2}-y^{2}=144$$, подставим во второе: $$28y-56x+444+144=0 |:28\Leftrightarrow$$$$y-2x=-21\Leftrightarrow$$ $$y=2x-21$$
Подставим в (1) : $$144+(2x-21)^{2}-x^{2}=0\Leftrightarrow$$$$144+4x^{2}-84x+441-x^{2}=0\Leftrightarrow$$$$3x^{2}-84x+585=0 |:3\Leftrightarrow$$$$x^{2}-28x+195=0$$
D=784-780=4
$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{28+2}{2}=15=AB\\x_{2}=\frac{28-2}{2}=13=AB\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}BC=28-15=13\\BC=18-13=15\end{matrix}\right.$$
Тогда: AB=15 и BC=13 ( или наоборот)
Задание 2208
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны $$21$$ и $$75$$. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3050
Медиана $$AM$$ треугольника $$ABC$$ равна половине стороны $$BC$$. Угол между $$AM$$ и высотой $$AH$$ равен $$40^{\circ}$$. Найдите углы треугольника $$ABC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) т.к. медиана равна половине стороны, то $$\Delta ABC$$ – прямоугольный, при этом $$\angle A=90$$ и $$AM=CM=MB$$
2) из $$\Delta AMH$$: $$\angle AMH=90-\angle MAH=50$$
3) из $$\Delta AMC$$: $$\angle CAM +\angle ACM =\angle AMH$$ (как внешний угол при третьей вершине ),при этом $$\angle CAM=\angle ACM\Rightarrow$$ $$\angle ACM =\frac{50}{2}=25$$
4) $$\angle B=90-\angle C=90-25=65$$
Задание 2220
Медианы треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$M$$. Найдите длину медианы, проведённой к стороне $$BC$$ , если $$\angle BAC=47^{\circ}$$ , $$\angle BMC=133^{\circ}$$, $$BC=4\sqrt{3}$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3838
На сторонах $$BC$$ и $$BA$$ треугольника $$ABC$$ взяты точки $$E$$ и $$F$$ такие, что $$BE:EC=1:3$$, $$BF:FA=1:2$$. Площадь треугольника $$BEF$$ равна $$10$$. Найти площадь треугольника ABC.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
$$\frac{S_{ABC}}{S_{BEF}}=\frac{AB*BC}{BF*BE}(1)$$. Так как ВE:EС=1:3, то BC=4BE, так как ВF:FА=1:2, то AB=3BF. Подставим данные выражения в формулу (1): $$\frac{S_{ABC}}{S_{BEF}}=\frac{3BF*4BE}{BF*BE}=12$$, тогда $$S_{ABC}=12S_{BFE}=12*10=120$$
Задание 4335
Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна $$20$$, а радиус вписанной окружности равен $$4$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Текстовое решение временно недоступно, вы можете найти его в видео в начале варианта