Формулы из геометрии

Площадь треугольника $$S$$ можно вычислить по формуле $$S = \frac{1}{2}ah$$, где $$a$$ — сторона треугольника, $$h$$ — высота, проведённая к этой стороне. Пользуясь этой формулой, найдите сторону $$a$$, если площадь треугольника равна $$28$$, а высота $$h$$ равна $$14$$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $$S = \frac{1}{2}bc \cdot \sin \alpha$$, где $$b$$ и $$c$$ — две стороны треугольника, а $$\alpha$$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину $$\sin \alpha$$, если $$b = 10$$, $$c = 5$$ и $$S = 20$$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $$S = \frac{1}{2}bc \cdot \sin \alpha$$, где $$b$$ и $$c$$ — две стороны треугольника, а $$\alpha$$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $$S$$, если $$b = 16$$, $$c = 9$$ и $$\sin \alpha = \frac{1}{3}$$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $$S = \frac{(a + b + c)r}{2}$$, где $$a, b, c$$ — длины сторон треугольника, $$r$$ — радиус вписанной окружности. Вычислите длину стороны $$c$$, если $$S = 24$$, $$a = 8$$, $$b = 6$$, $$r = 2$$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $$S = \frac{abc}{4R}$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ — стороны треугольника, а $$R$$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите $$b$$, если $$a = 12$$, $$c = 13$$, $$S = 30$$ и $$R = 6,5$$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $$S = \frac{abc}{4R}$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ — стороны треугольника, а $$R$$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите $$S$$, если $$a = 11$$, $$b = 13$$, $$c = 20$$ и $$R = \frac{65}{6}$$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $$S = \frac{bc \cdot \sin \alpha}{2}$$, где $$b$$ и $$c$$ — стороны треугольника, $$\alpha$$ — угол между этими сторонами. Пользуясь этой формулой, найдите площадь треугольника, если $$\alpha = 30^\circ$$, $$c = 5$$, $$b = 6$$.

Площадь треугольника со сторонами $$a, b, c$$ можно найти по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$, где $$p = \frac{a + b + c}{2}$$. Найдите площадь треугольника со сторонами $$11$$, $$13$$, $$20$$.

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha$$, где $$d_1$$ и $$d_2$$ — длины диагоналей четырёхугольника, $$\alpha$$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $$S$$, если $$d_1 = 4$$, $$d_2 = 18$$, $$\sin \alpha = \frac{8}{9}$$.

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi$$, где $$d_1$$ и $$d_2$$ — длины диагоналей четырёхугольника, $$\varphi$$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали $$d_2$$, если $$d_1 = 6$$, $$\sin \varphi = \frac{1}{12}$$, а $$S = 3,75$$.

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $$S = \frac{d_1 d_2 \sin \alpha}{2}$$, где $$d_1$$ и $$d_2$$ — длины диагоналей четырёхугольника, $$\alpha$$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали $$d_2$$, если $$d_1 = 6$$, $$\sin \alpha = \frac{1}{3}$$, $$S = 19$$.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $$r = \frac{a + b - c}{2}$$, где $$a$$ и $$b$$ — катеты, а $$c$$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $$c$$, если $$a = 12$$, $$b = 35$$ и $$r = 5$$.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле $$r = \frac{1}{2}(a + b - c)$$, где $$a$$ и $$b$$ — катеты, а $$c$$ — гипотенуза треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите $$b$$, если $$r = 1,2$$, $$c = 6,8$$, $$a = 6$$.

Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника с боковыми сторонами $$a$$ и основанием $$b$$, можно вычислить по формуле $$R = \frac{a^2}{\sqrt{4a^2 - b^2}}$$. Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если известно, что $$b = 4$$, $$R = \frac{9\sqrt{2}}{4}$$ и длина боковой стороны $$a$$ — рациональное число.

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $$R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$$, где $$a$$ — сторона, а $$\alpha$$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите $$a$$, если $$R = 10$$ и $$\sin \alpha = \frac{3}{20}$$.