Задание 459

1) Пусть $$AA_{1}\cap BB_{1}=M$$, тогда $$\angle B_{1}MA=\angle A_{1}MB$$ (вертикальные)

2) $$\angle AB_{1}M=\angle MA_{1}B=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AMB_{1}\sim\bigtriangleup A_{1}MB$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{B_{1}M}{A_{1}M}=\frac{AM}{MB}$$ ($$\ast$$)

3) $$\angle B_{1}MA_{1}=\angle AMB$$ (вертикальные), с учетом ($$\ast$$) $$\bigtriangleup B_{1}MA_{1}\sim\bigtriangleup AMB$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle B_{1}A_{1}M=\angle MBA$$

1) Пусть $$AH \cap CF = M$$, тогда углы $$\angle FMA$$ и $$\angle HMC$$ вертикальные: $$\angle FMA = \angle HMC.$$

2) Так как $$AH$$ и $$CF$$ — высоты, то $$\angle AFM = 90^\circ,\quad \angle MHC = 90^\circ.$$ Следовательно, $$\triangle AFM \sim \triangle CHM,$$ откуда $$\frac{FM}{HM} = \frac{AM}{MC}$$($$\ast$$).

3) Углы $$\angle FMH$$ и $$\angle AMC$$ вертикальные, поэтому $$\angle FMH = \angle AMC.$$ С учётом ($$\ast$$) получаем подобие $$\triangle FMH \sim \triangle AMC,$$ откуда $$\angle CFH = \angle CAH,$$ так как лучи $$FC$$ и $$FM$$, а также $$AH$$ и $$AM$$ являются продолжениями друг друга.

1) Пусть $$AH \cap BK = M$$, тогда углы $$\angle KMA$$ и $$\angle HMB$$ вертикальные: $$\angle KMA = \angle HMB.$$

2) Так как $$AH$$ и $$BK$$ — высоты, то $$\angle AKM = 90^\circ,\quad \angle MHB = 90^\circ.$$ Следовательно, $$\triangle AMK \sim \triangle HMB,$$ откуда $$\frac{KM}{HM} = \frac{AM}{MB}$$ (отношение противолежащих сторон при равных углах)($$\ast$$).

3) Углы $$\angle KMH$$ и $$\angle AMB$$ вертикальные, поэтому $$\angle KMH = \angle AMB.$$ С учётом ($$\ast$$) получаем подобие $$\triangle KMH \sim \triangle AMB,$$ откуда $$\angle KHM = \angle MBA.$$

4) Заметим, что лучи $$HA$$ и $$HM$$ являются продолжениями друг друга, а лучи $$BK$$ и $$BM$$ — тоже продолжения. Поэтому $$\angle AHK$$ и $$\angle KHM$$ один и тот же угол, $$\angle ABK$$ и $$\angle MBA$$ так же. Равенство острых углов $$\angle KHM = \angle MBA$$ влечёт равенство их смежных: $$\angle AHK = \angle ABK.$$