Skip to main content
Темы
(C5) Геометрическая задача на доказательство

Треугольники и их элементы

Задание 4212

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности суммы катетов и гипотенузы.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 2977

Докажите, что расстояние от всякой точки окружности, описанной около равностороннего треугольника, до одной из его вершин равно сумме расстояний от этой точки до двух других вершин.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Докажем , что $$AC*BD=CD*AB+AD*BC$$ (теорема Птолемея). Выберем на AC точку С так , чтобы $$\angle ABD=\angle CBE$$

     2) $$\Delta ABD\sim \Delta BCE$$ ($$\angle ECB=\angle ADB$$ (вписанные на одну дугу) и $$\angle ABD=\angle CBE$$ )$$\Rightarrow$$$$\frac{BC}{EC}=\frac{BD}{AD}\Rightarrow$$ $$BC*AD=EC*BD(1)$$

      3) $$\Delta ABE\sim \Delta BCD$$ ($$\angle CDB=\angle EAB$$; $$\angle ABD=\angle CBE$$ и $$\angle DBE$$ - общий $$\Rightarrow$$ $$\angle EBA=\angle DBC$$)$$\Rightarrow$$ $$\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}\Rightarrow$$ $$AB*CD=AE*BD(2)$$. Сложим (1) и (2): $$AB*CD+BC*AD=$$$$AE*BD+EC*BD=$$$$(AE+EC)BD=AC*BD$$

      4) Пусть $$AB=BC=AC=x$$ , с учетом , что $$AC*BD=CD*AB+AD*BC$$ получим , что $$BD*a=CD*a+BC*a|: a\Rightarrow$$ $$BD=CD+BC$$

Задание 4052

Докажите, что сумма длин медиан треугольника меньше его периметра.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

На каждой стороне треугольника достроим параллелограмм, как показано на рисунке и введем обозначения: BC=a;AB=c;AC=b;CC1=mc;BB1=mb;AA1=ma

1) Рассмотрим параллелограм ACFB: AF - его диагональ (так как А1 - середина BC), тогда 2AA1=AF; по свойству длин сторон треугольника AF<AC+CF, но СF=AB, и тогда получаем 2ma<b+c или ma<0,5(b+c)(1)
2) Аналогично рассматривая два других параллелограма и треугольники CBE и BCD, получаем mс<0,5(a+b)(2) и mb<0,5(a+c)(3) соответственно.
3) Сложим неравенства 1,2 и 3 и получим : ma+mb+mc<0,5b+0,5c+0,5a+0,5b+0,5a+0,5c или ma+mb+mc<a+b+c
ч.т.д.

Задание 3171

Докажите, что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника в $$1,5$$ раза больше квадрата гипотенузы.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) $$CC_{1}=\frac{1}{2}AB$$( свойство медиан из прямого угла) пусть $$AC^{2}=x^{2}$$, $$CB^{2}=y^{2}\Rightarrow$$ $$AB^{2}=x^{2}+y^{2}$$

     2) $$CC_{1}^{2}=(\frac{AB}{2})^{2}=\frac{x^{2}+y^{2}}{4}$$

$$\Delta AA_{1}C$$: $$AA_{1}^{2}=AC^{2}+(\frac{CB}{2})^{2}=$$$$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}$$

$$\Delta CBB_{1}$$: $$BB_{1}^{2}=CB^{2}+(\frac{AC}{2})^{2}=$$$$y^{2}+\frac{x^{2}}{4}$$

     3) $$AA_{1}^{2}+BB_{1}^{2}+CC_{1}^{2}=$$$$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}+y^{2}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=$$$$\frac{3x^{2}+3y^{2}}{2}=1,5(x^{2}+y^{2})=1,5AB^{2}$$

Задание 3657

Докажите, что у равных треугольников $$ABC$$ и $$A_{1}B_{1}C_{1}$$ биссектрисы, проведённые из вершины $$A$$ и $$A_{1}$$, равны.

Ответ:

Задание 3381

Из вершины $$B$$ треугольника $$ABC$$ опущены перпендикуляры $$BK$$ и $$BM$$ на биссектрисы внешних углов треугольника, не смежных с углом $$B$$. Докажите, что длина отрезка $$KM$$ равна полупериметру треугольника $$ABC$$.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) $$BK\cap AC=H; BM\cap AC=N$$

Из $$\Delta HAB$$: AK-высота и биссектриса $$\Rightarrow$$ и медиана и $$AH=AB$$ ($$\Delta AHB$$-равнобедренный)

Из $$\Delta BCH$$: аналогично CM-медиана и BC=CN

     2) из п. 1 $$HN=HA+AC+CN=$$$$AB+AC+DC=P_{ABC}$$

K и M-середины , тогда KM-средняя линия и $$KM=\frac{1}{2}HN=\frac{P_{ABC}}{2}$$

Задание 2609

Известно, что $$\angle A=24^{\circ}$$ , $$\angle B=81^{\circ}$$ – внутренние углы треугольника ABC . O – такая точка внутри треугольника, что $$\angle OAB=15^{\circ}$$, $$\angle OBA=69^{\circ}$$. Найдите градусную меру угла $$OCA$$ .

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$\angle OBA=69^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle OBC=81-69=12^{\circ}$$

2) Пусть $$AO\cup BC=P$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle APB=180-(81+15)=84$$

3) Пусть $$a\perp AB$$; $$a\cup AB=B$$; $$a\cup AP=D$$

4) $$\angle DBC=90-81=9^{\circ}$$; $$\angle DAC=424-15=9^{\circ}=\angle DBC$$ $$\Rightarrow$$ $$ABDC$$ можно вписать в окружность $$\Rightarrow$$ $$AD$$ - диаметр

5) Пусть $$O_{2}$$ - ее центр, $$T$$ - центр $$BC$$. Пусть $$TQ=TP$$, $$T$$ - центр $$PQ$$, тогда $$\bigtriangleup O_{2}BC$$ - равнобедренный; $$O_{2}T$$ - высота и медиана $$\Rightarrow$$ $$\angle O_{2}QP=\angle O_{2}PQ=84^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle PO_{2}Q=180-2\cdot84=12^{\circ}=\angle OBQ$$ $$\Rightarrow$$ $$O_{2}OQB$$ - вписан $$\Rightarrow$$ $$PO\cdot PO_{2}=PQ\cdot PB$$

6) из $$\bigtriangleup O_{2}PB$$: $$\frac{BP}{\sin30^{\circ}}=\frac{O_{2}B}{\sin84^{\circ}}$$; из $$\bigtriangleup O_{2}PC$$: $$\frac{PC}{\sin18^{\circ}}=\frac{O_{2}C}{\sin96^{\circ}}$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$$; $$O_{2}B=O_{2}C$$; $$\sin84^{\circ}=\sin96^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BP}{PC}=\frac{\sin30^{\circ}}{\sin18^{\circ}}$$

7) $$\frac{PQ}{PC}=\frac{PB-QB}{QB}=\frac{PB}{PQ}-1=\frac{PB}{PC}-1=\frac{2}{\sqrt{5}-1}-1=$$ $$=\frac{2-\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}=\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{PC}{PB}$$

8) $$\frac{PC}{PB}=\frac{PQ}{PC}$$ $$\Rightarrow$$ $$PC^{2}=PQ\cdot PB=PO\cdot PO_{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{PO}{PC}=\frac{PC}{PO_{2}}$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup PCO\sim\bigtriangleup PO_{2}C$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle PCO=\angle PO_{2}C=18^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle O_{2}CA=75-18=57^{\circ}$$

Задание 4029

На высоте $$AD$$ треугольника $$ABC$$ взята точка $$N$$. Докажите, что $$AB^{2}-AC^{2}=NB^{2}-NC^{2}$$.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1)По теореме Пифагора из $$\bigtriangleup ABD ; \bigtriangleup ADC$$:
$$\left\{\begin{matrix}AB^{2}=DB^{2}+DA^{2}\\AC^{2}=DC^{2}+DA^{2}\end{matrix}\right.$$
Вычтем из первого второе и получим: $$AB^{2}-AC^{2}=DB^{2}-DC^{2}$$
2)По теореме Пифагора из $$\bigtriangleup BND ; \bigtriangleup CND$$:
$$\left\{\begin{matrix}NB^{2}=DB^{2}+DN^{2}\\NC^{2}=DC^{2}+DN^{2}\end{matrix}\right.$$
Вычтем из первого второе и получим: $$NB^{2}-NC^{2}=DB^{2}-DC^{2}$$
3)Из равенств пунктов 1 и 2 получаем: $$AB^{2}-AC^{2}=NB^{2}-NC^{2}$$

Задание 3653

На медиане $$KF$$ треугольника $$MPK$$ отмечена точка $$E$$. Докажите, что если $$EM=EP$$, то $$KM=KP$$ .

Ответ:

Задание 3660

На стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$ выбраны точки $$D$$ и $$E$$ так, что отрезки $$AD$$ и $$CE$$ равны. Оказалось, что углы $$ADB$$ и $$BEC$$ тоже равны. Докажите, что треугольник $$ABC$$ — равнобедренный.

Ответ:

Задание 1144

На стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$ отмечены точки $$D$$ и $$E$$ так, что $$AD=CE$$. Докажите, что если $$BD=BE$$, то $$AB=BC$$.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3659

Окружность касается стороны $$AB$$ треугольника $$ABC$$, у которого $$\angle C=90^{\circ}$$, и продолжений его сторон $$AC$$ и $$BC$$ за точки $$A$$ и $$B$$ соответственно. Докажите, что периметр треугольника $$ABC$$ равен диаметру этой окружности.

Ответ:

Задание 2880

Пусть $$H$$ – точка пересечения высот треугольника $$ABC$$. Докажите, что точка $$H_{1}$$, симметричная точке $$H$$ относительно любой стороны треугольника $$ABC$$, лежит на окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!