Треугольники и их элементы
Задание 2610
Дан треугольник $$ABC$$ . На сторонах $$AB$$ и $$BC$$ построены внешним образом квадраты $$ABMN$$ и $$BCPQ$$ . Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков $$MQ$$ и $$AC$$ образуют квадрат.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$FD=DQ$$; $$MF=FA$$ $$\Rightarrow$$ $$FD$$ - средняя линия $$\bigtriangleup AQM$$ $$FD=\frac{1}{2}AQ$$ и $$FD\parallel AQ$$; $$EC_{1}=FD$$ (из $$\bigtriangleup AQC$$)
2) Аналогично п.1: $$FE=\frac{1}{2}MC=DG$$ и $$EG\parallel FD$$; $$FE\parallel MC\parallel DG$$ из $$\bigtriangleup MAC$$ и $$\bigtriangleup MQC$$
3) $$MB=BA$$; $$BC=BQ$$ (стороны квадратов); $$\angle MBC=90^{\circ}+\angle ABC$$; $$\angle QBA=90^{\circ}+ABC$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle MBC=\angle QBA$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup MBC=\bigtriangleup ABQ$$ $$\Rightarrow$$ $$MC=AQ$$ $$\Rightarrow$$ $$FD=DG=GE=FE$$ $$\Rightarrow$$ $$FDGE$$ - ромб
4) $$\angle MLB=\angle ALK$$ - вертикальные; $$\angle MBL=90^{\circ}$$; из $$\bigtriangleup MBC=\bigtriangleup ABQ$$: $$\angle MBL=\angle LAK$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup MBL\sim\bigtriangleup ALK$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle LKA=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$MC\perp AQ$$ $$\Rightarrow$$ $$FD\perp FE$$ $$\Rightarrow$$ $$FDGE$$ - квадрат
Задание 2903
Докажите что прямая, которая делит пополам гипотенузу и катет прямоугольного треугольника, параллельна другому катету.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1000
Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3334
Докажите, что в прямоугольном треугольнике произведение длин отрезков, на которые делит гипотенузу точка касания с вписанной окружностью, равна площади треугольника.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть AH=x; HB=y; NO=OM=OH=r. По свойству касательных: AN=AH=x, MB=HB=y
2) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC*CB=$$$$\frac{1}{2}(x+r)(y+r)=$$$$\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}xr+\frac{1}{2}yr+\frac{1}{2}r^{2}(1)$$
С другой стороны : $$S_{ABC}=2S_{AOH}+2S_{HOB}+S_{CNOM}=$$$$2S_{AOB}+S_{CNOM}=2*\frac{1}{2}(x+y)r+r^{2}=xr+yr+r^{2}(2)$$
Приравняем (1) и (2):
$$\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}xr+\frac{1}{2}yr+\frac{1}{2}r^{2}=xr+yx+r^{2}$$
$$\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}xr+\frac{1}{2}yr+\frac{1}{2}r^{2}|*2$$
$$xy=xr+y^{2}+r^{2}=S_{ABC}$$
Задание 3862
Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной окружностей.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2927
Докажите, что длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равна отношению произведения катетов к гипотенузе этого треугольника.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Площадь данного треугольника:$$S=\frac{1}{2}ab$$ или $$S=\frac{1}{2} h*c$$, тогда: $$\frac{1}{2} ab=\frac{1}{2}hc\Rightarrow$$ $$h=\frac{ab}{c}$$, где a,b-катеты ,c-гипотенуза, h-высота
Задание 3907
Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Пусть $$BH\perp AC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABH\sim\bigtriangleup BHC$$ по 2 углам, но т.к. $$BH$$ - общая ,то $$\bigtriangleup ABH=\bigtriangleup BHC$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=BC$$
ч.т.д.
Задание 4440
Докажите, что если в треугольнике две высоты равны, то он равнобедренный.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Решение временно отсутствует, можете найти его в моем видео-разборе ( вначале варианта )
Задание 4394
Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
AH - медиана и биссектриса $$\Rightarrow$$ $$\angle HAC=\angle HAB$$; BH=HC и АН - общая.
По теореме косинусов:
$$\left.\begin{matrix}\frac{AH}{\sin C}=\frac{HC}{\sin HAC}\\\frac{AH}{\sin B}=\frac{HB}{\sin BAH}\end{matrix}\right\}$$
$$\Rightarrow \sin C=\sin B\Rightarrow \angle C=\angle B$$
ч.т.д.
Задание 2806
Докажите, что если три медианы треугольника равны, то он равносторонний.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4332
Докажите, что если у треугольника равны две высоты, то этот треугольник равнобедренный.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
$$CH=AM$$ $$\bigtriangleup BCH=\bigtriangleup AMB$$ ($$\angle B$$ - общий катеты равны) $$\Rightarrow$$ $$AB=BC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABC$$ - равнобедренный.
ч. т. д.
Задание 3475
Докажите, что если у треугольника равны две медианы, то этот треугольник равнобедренный.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть АМ=СН-медианы . $$\frac{LN}{LM}=\frac{2}{1}$$ и $$\frac{CL}{CH}=\frac{2}{1}$$(свойство медиан), но т.к. AM=CH, то AL=LC ,LH=LM.
2) $$\angle HLA=\angle MLC$$ (вертикальные) $$\Delta HLA=\Delta MLC$$ (по 2-м сторонам и углу между ними) $$\Rightarrow$$ AH=MC, но AH=HB и CM=MB $$\Rightarrow$$ AB=BC.
Задание 3661
Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.
1) Пусть дан $$\bigtriangleup ABC$$, $$CM$$ - медиана $$\Rightarrow$$ $$AM=MB$$ ($$\star$$)
2) Пусть $$CH\perp AB$$, тогда $$S_{AMC}=\frac{1}{2}AM\cdot CH$$; $$S_{CMB}=\frac{1}{2}MB\cdot CH$$ с учетом ($$\star$$): $$S_{AMC}=S_{CMB}$$