Комбинация многоугольников и окружностей
Задание 4233
Окружность с центром на стороне $$AC$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ ($$AB=BC$$) касается сторон $$AB$$ и $$BC$$, а сторону $$AC$$ делит на три равные части. Найти радиус окружности, если площадь треугольника $$ABC$$ равна $$9\sqrt{2}$$
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2853
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник $$ABC$$ касается катетов $$AC$$ и $$BC$$ в точках $$L$$ и $$K$$ соответственно. $$AL=12$$ см, $$BK=8$$ см. Найдите площадь треугольника $$BOM$$, где $$O$$ – центр вписанной в треугольник окружности, $$M$$ – точка пересечения медиан треугольника $$ABC$$.
1) Пусть окружжность окружность касается AB в точке H. По свойству касательных: CL=CK=x, KB=BH=8, AL=AH=12. Тогда AC=12+x, BC=8+x, AB=20. Тогда по теореме Пифагора: $$(12+x)^{2}+(8+x)^{2}=20^{2}\Leftrightarrow$$$$x=4$$
2) Так как $$OK\perp BC, OL\perp AC$$ (радиус проведенный в точку касания) и $$OK=OL$$, то CLOK - квадрат, следовательно, OK=4
3) Пусть OB пересекает AC в точке R, тогда треугольники RCB и OKB подобны (прямоугольные с общим острым углом) и $$\frac{RC}{OK}=\frac{CB}{KB}=\frac{3}{2}$$. Тогда RC=6
4) $$S_{RCB}=\frac{1}{2}RC*CB=36$$, $$S_{DCB}=\frac{1}{2}DC*CB=48$$, тогда $$S_{DRB}=48-36=12$$
5) $$\frac{DM}{MB}=\frac{1}{2}$$ (по свойству медианы), но из подобия RCB и OKB: $$\frac{RO}{OB}=\frac{1}{2}$$, а так как угол DBR - общий, то треугольники MOB и DRB - подобны, и $$S_{MOB}=(\frac{MB}{DB})^{2}S_{DRB}=(\frac{2}{3})^{2}*12=\frac{16}{3}$$
Задание 3617
Основание $$AC$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ равно $$12$$. Окружность радиуса $$8$$ с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания $$AC$$ в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$.
Задание 3426
Точки $$K$$, $$L$$, $$M$$, $$N$$, $$P$$ расположены последовательно на окружности радиуса $$2\sqrt{2}$$ . Найдите площадь треугольника $$KLM$$, если $$LM\parallel KN$$, $$KM\parallel NP$$, $$MN\parallel LP$$, а угол $$LOM$$ равен $$45^{\circ}$$, где $$O$$ – точка пересечения хорд $$LN$$ и $$MP$$
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$LM\left | \right | KN\Rightarrow \angle LMK=\angle MKN$$(накрест лежащие)$$\Rightarrow \cup LK=\cup MN$$(вписанные углы равны)
$$MK \left | \right |NP\Rightarrow \angle MKN=\angle KNP\Rightarrow \cup KP=\cup MN=\cup LK.$$
$$LP\left | \right | MN\Rightarrow \angle LPM=\angle PMN\Rightarrow \cup LM=\cup NP.$$
2)Пусть $$\cup KL=\alpha$$ и $$\cup LM=\beta .$$
$$\angle LOM=\angle NOP$$(вертикальные) ,но т.к.
$$\cup LM=\cup NP$$, то $$\angle LOM-\frac{\cup LM+\cup PN}{2}=\beta =45$$
3)$$\Delta LPK : LK=2R \sin LPK= 2R \sin 45$$
$$\Delta LPM: LM=2R \sin LPM =2R \sin 22,5$$
$$S_{\Delta LKM}=\frac{1}{2} *LK*LM* \sin KLM=$$$$\frac{1}{2} *2R \sin 22,5 * \sin (90+22,5)=$$$$2R^{2}* \sin 22,5 * \cos 22,,5 * \sin 45=R^{2}* \sin^{2} 45=4$$
Задание 1248
Точки $$M$$ и $$N$$ лежат на стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$ на расстояниях соответственно $$9$$ и $$11$$ от вершины $$A$$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $$M$$ и $$A$$ и касающейся луча $$AB$$, если $$\cos \angle BAC=\frac{\sqrt{11}}{6}$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4113
Через центр $$O$$ вписанной в треугольник $$ABC$$ полуокружности проведена прямая, параллельная стороне $$BC$$ и пересекающая стороны $$AB$$ и $$AC$$ соответственно в точках $$M$$ и $$N$$. Периметр треугольника $$AMN$$ равен $$3$$, $$BC=1$$, а отрезок $$AO$$ в $$3$$ раза больше радиуса вписанной в треугольник $$ABC$$ окружности. Найдите площадь треугольника $$ABC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
$$S_{ABC}=p\cdot r=\frac{AB+BC+AC}{2}\cdot r$$; $$P_{AMN}=AM+MN+AN$$; BO - биссетриса $$\Rightarrow$$ $$MO\parallel BO$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle MOB=\angle OBH=\angle OBM$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup MBO$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$MB=MO$$. Аналогично: $$ON=NC$$ $$\Rightarrow$$ $$MN=MO+ON=MN+NC$$; $$AB=AM+MB$$; $$AC=AN+NC$$; $$P_{AMN}=AM+AN+NO+OM=AM+AN+NC+MB=AB+AC=3$$
Из $$\bigtriangleup AOP$$: $$AP=\sqrt{AO^{2}-OP^{2}}=\sqrt{(3r)^{2}-r^{2}}=\sqrt{8}r$$; $$S_{ABC}=\frac{AB+BC+AC}{2}\cdot r=\frac{3+1}{2}\cdot r=2r$$; $$AP=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{3-1}{2}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$AP=1=\sqrt{8}r$$ $$\Rightarrow$$ $$r=\frac{1}{\sqrt{8}}$$; $$S_{ABC}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{8}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
Задание 2902
Четырехугольник $$ABCD$$ вписан в окружность с центром $$O$$, $$\angle BOA=\angle COD=60^{\circ}$$. Перпендикуляр $$BK$$, опущенный из вершины $$B$$ на сторону $$AD$$, равен $$6$$; $$BC$$ в три раза меньше $$AD$$. Найдите площадь треугольника $$COD$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4090
Четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность, его диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$F$$, причем $$AF:FC=3:1$$, $$BF:FD=4:3$$, $$\cos\angle ADB=0,25$$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $$BAC$$, если $$AC=4$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$AF\div FC=3\div1$$; $$AC=4$$ $$\Rightarrow$$ $$AF=3$$; $$FC=1$$
2) $$\angle CAD=\angle CBF$$; $$\angle BCA=\angle BDA$$ (опираются на одни дуги); $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BFC\sim\bigtriangleup AFD$$: пусть $$BF=4x$$; $$FD=3x$$, тогда $$k=\frac{BF}{AF}=\frac{CF}{FD}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{4x}{3}=\frac{1}{3x}$$ $$\Rightarrow$$ $$4x^{2}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$BF=2$$; $$FD=1,5$$
3) $$\frac{BC}{AD}=k=\frac{2}{3}$$ $$\Rightarrow$$ пусть $$BC=a$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=1,5a$$. По теореме косинусов для $$\bigtriangleup ABC$$ и $$\bigtriangleup ABD$$: $$\left\{\begin{matrix}AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}-2BC\cdot AC\cdot\cos\angle BCA\\AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}-2BD\cdot AD\cdot\cos\angle BDA\end{matrix}\right.$$ Приравниваем их: $$a^{2}+16-2\cdot4\cdot a\cdot\frac{1}{4}=2,25a^{2}+12,25-2\cdot\frac{2}{3}a\cdot3,5\cdot\frac{1}{4}$$; $$1,25a^{2}+3,75a-0,625a=0$$; $$2a^{2}-a+6=0$$; $$a=2$$ $$\Rightarrow$$ $$b=\sqrt{4+16-2\cdot2\cdot4\cdot\frac{1}{4}}=4=AB$$
4) Из $$\bigtriangleup ABC$$: $$\frac{AB}{2\sin\angle BCA}=R$$, где R - радиус описанной окружности; $$\sin\angle BCA=\sqrt{1-\cos^{2}\angle BCA}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$$; $$R=\frac{4}{2\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{8}{\sqrt{15}}=\frac{8\sqrt{15}}{15}$$
Задание 1515
Четырёхугольник $$ABCD$$ со сторонами $$AB=11$$ и $$CD=41$$ вписан в окружность. Диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$K$$, причём $$\angle AKB=60^{\circ}$$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2805
Четырехугольник $$ABCD$$, описанный около некоторой окружности, делится диагональю $$AC$$ на треугольники $$ABC$$ и $$ACD$$ с радиусами вписанных окружностей $$1$$ и $$\frac{3}{\sqrt{15}}$$ соответственно. Найдите стороны четырехугольника и диагональ $$BD$$, если площади треугольников $$ABC$$ и $$ACD$$ равны $$6$$ и $$\sqrt{15}$$ соответственно.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
