Задание 1827

1) Заметим, что левая часть второго уравнения равна удвоенной левой части первого: $$4x^2 + 6y^2 = 2(2x^2 + 3y^2).$$ Умножим первое уравнение на $$2$$: $$4x^2 + 6y^2 = 22.$$ По второму уравнению: $$4x^2 + 6y^2 = 11x.$$ Приравниваем правые части: $$22 = 11x \;\Rightarrow\; x = 2.$$

2) Подставим $$x = 2$$ в первое уравнение: $$2\cdot 2^2 + 3y^2 = 11 \;\Rightarrow\; 8 + 3y^2 = 11 \;\Rightarrow\; 3y^2 = 3 \;\Rightarrow\; y^2 = 1.$$ Тогда $$y = 1$$ или $$y = -1.$$ Получаем решения $$(2;1)$$ и $$(2;-1).$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Левая часть второго уравнения равна трёхкратной левой части первого: $$15x^2 + 3y^2 = 3(5x^2 + y^2).$$ Умножим первое уравнение на $$3$$: $$15x^2 + 3y^2 = 183.$$ Согласно второму уравнению: $$15x^2 + 3y^2 = 61x.$$ Приравниваем: $$183 = 61x \;\Rightarrow\; x = 3.$$

2) Подставим $$x = 3$$ в первое уравнение: $$5\cdot 3^2 + y^2 = 61 \;\Rightarrow\; 45 + y^2 = 61 \;\Rightarrow\; y^2 = 16,$$ откуда $$y = 4$$ или $$y = -4.$$ Решения: $$(3;4),\ (3;-4).$$

1) Во втором уравнении левая часть равна четырёхкратной левой части первого: $$12x^2 + 8y^2 = 4(3x^2 + 2y^2).$$ Умножим первое уравнение на $$4$$: $$12x^2 + 8y^2 = 200.$$ Согласно второму уравнению: $$12x^2 + 8y^2 = 50x.$$ Приравниваем: $$200 = 50x \;\Rightarrow\; x = 4.$$

2) Подставим $$x = 4$$ в первое уравнение: $$3\cdot 4^2 + 2y^2 = 50 \;\Rightarrow\; 48 + 2y^2 = 50 \;\Rightarrow\; 2y^2 = 2 \;\Rightarrow\; y^2 = 1,$$ откуда $$y = 1$$ или $$y = -1.$$ Решения: $$(4;1),\ (4;-1).$$

1) Левая часть второго уравнения равна четырёхкратной левой части первого: $$8x^2 + 4y^2 = 4(2x^2 + y^2).$$ Умножим первое уравнение на $$4$$: $$8x^2 + 4y^2 = 144.$$ Согласно второму уравнению: $$8x^2 + 4y^2 = 36x.$$ Приравниваем правые части: $$144 = 36x \;\Rightarrow\; x = 4.$$

2) Подставим $$x = 4$$ в первое уравнение: $$2\cdot 4^2 + y^2 = 36 \;\Rightarrow\; 32 + y^2 = 36 \;\Rightarrow\; y^2 = 4,$$ откуда $$y = 2$$ или $$y = -2.$$ Получаем решения $$(4;2)$$ и $$(4;-2).$$