(C5) Геометрическая задача на доказательство
Задание 3979
Диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ взаимно перпендикулярны. Углы при вершинах $$B$$ и $$C$$ равны между собой. Докажите, что стороны $$AB$$ и $$CD$$ параллельны.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2903
Докажите что прямая, которая делит пополам гипотенузу и катет прямоугольного треугольника, параллельна другому катету.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1000
Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4003
Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника с неравными сторонами при пересечении образуют квадрат.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1)$$\angle JAD = \angle JDA = 45^{\circ}$$ (AJ и DJ - биссектрисы пярмых углов), тогда $$\angle AJD = 90^{\circ}$$. Тогда $$\angle FJI =90^{\circ}$$ как смежный. Аналогично $$\angle FGI =90^{\circ}$$ и тогда FGIJ - прямоугольник
2)$$\bigtriangleup AJD = \bigtriangleup BGC$$ (прямоугольные, равнобедренные, одинаковые гипотенуза), тогда DJ=GC(1). $$\bigtriangleup DFC$$ прямоугольный и равнобедренный, тогда DF=FG(2). Из равенств 1 и 2 получаем FJ=FG. Тогда FGIJ - квадрат
Задание 2721
Докажите, что в выпуклый четырехугольник $$ABCD$$ можно вписать окружность тогда и только тогда, когда $$AB+CD=AD+BC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3334
Докажите, что в прямоугольном треугольнике произведение длин отрезков, на которые делит гипотенузу точка касания с вписанной окружностью, равна площади треугольника.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть AH=x; HB=y; NO=OM=OH=r. По свойству касательных: AN=AH=x, MB=HB=y
2) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC*CB=$$$$\frac{1}{2}(x+r)(y+r)=$$$$\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}xr+\frac{1}{2}yr+\frac{1}{2}r^{2}(1)$$
С другой стороны : $$S_{ABC}=2S_{AOH}+2S_{HOB}+S_{CNOM}=$$$$2S_{AOB}+S_{CNOM}=2*\frac{1}{2}(x+y)r+r^{2}=xr+yr+r^{2}(2)$$
Приравняем (1) и (2):
$$\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}xr+\frac{1}{2}yr+\frac{1}{2}r^{2}=xr+yx+r^{2}$$
$$\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}xr+\frac{1}{2}yr+\frac{1}{2}r^{2}|*2$$
$$xy=xr+y^{2}+r^{2}=S_{ABC}$$
Задание 3862
Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной окружностей.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3837
Докажите, что в трапеции, диагонали которой являются биссектрисами углов при одном из оснований, длины трёх сторон равны.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1)$$\angle BDA=\angle DBC$$(накрестлежащие при параллельных BC и AD) ; $$\angle BDA=\angle BDC$$ (BD - биссеткриса) , тогда $$\angle BDC=\angle DBC$$, тогда треугольник BDC - равнобедренный и BC=BD(1)
2)аналогично рассматривается равенство углов BAC и BCA, тогда треугольник ABC - равнобедренный, и AB=BC, но с учетом равенства (1) получаем AB=BC=CD.
ч.т.д.
Задание 2927
Докажите, что длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равна отношению произведения катетов к гипотенузе этого треугольника.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Площадь данного треугольника:$$S=\frac{1}{2}ab$$ или $$S=\frac{1}{2} h*c$$, тогда: $$\frac{1}{2} ab=\frac{1}{2}hc\Rightarrow$$ $$h=\frac{ab}{c}$$, где a,b-катеты ,c-гипотенуза, h-высота
Задание 3767
Докажите, что если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то высота трапеции равна средней линии.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3907
Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Пусть $$BH\perp AC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABH\sim\bigtriangleup BHC$$ по 2 углам, но т.к. $$BH$$ - общая ,то $$\bigtriangleup ABH=\bigtriangleup BHC$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=BC$$
ч.т.д.
Задание 4440
Докажите, что если в треугольнике две высоты равны, то он равнобедренный.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Решение временно отсутствует, можете найти его в моем видео-разборе ( вначале варианта )
Задание 4394
Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
AH - медиана и биссектриса $$\Rightarrow$$ $$\angle HAC=\angle HAB$$; BH=HC и АН - общая.
По теореме косинусов:
$$\left.\begin{matrix}\frac{AH}{\sin C}=\frac{HC}{\sin HAC}\\\frac{AH}{\sin B}=\frac{HB}{\sin BAH}\end{matrix}\right\}$$
$$\Rightarrow \sin C=\sin B\Rightarrow \angle C=\angle B$$
ч.т.д.
Задание 2806
Докажите, что если три медианы треугольника равны, то он равносторонний.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
